200 ETUDE DES ELASSOÏDES 



expression où II désigne le rayon de courbure de la projection sur le plan 

 du cercle el Z la distance d'un point du contour au plan. 



Prenons, pour projection du contour indéterminé, l'épicycloïde ayant 

 pour équation 



p = b sinAtô; 



dans ce cas 



R = /,(1 _ k^siake, 



et puisque les éléments des deux contours sont égaux, on obtient 



dl = deVà 1 — 6 2 (1 — ky-sin-ke. 



Pour que le contour soit algébrique, sa projection doit être algébrique et 

 la valeur de Z doit également être algébrique. 



En général Z dépend des fonctions elliptiques, mais on peut toujours 



choisir a de telle façon que 



o=6(1 — K. 2 ), 

 et alors 



usin/cô 



Z = 



K 



Dès lors, si la projection est algébrique, les élassoïdes conjugués, dont 

 l'un passe par le cercle, seront algébriques. 



Mais la projection sera algébrique toutes les fois que le coefficient R sera 

 un nombre commensurable; conséquemment : par un cercle déterminé on 

 peut faire passer autant d 'élassoïdes algébriques qu'on peut construire 

 d'épicycloïdes ou d'hypocycloïdes algébriques. 



Le contour conjugué est défini par les équations suivantes entre lesquelles 

 il faut éliminer S: 



K 



on en déduit immédiatement l'équation 



x* -+- tf = 6 2 K 2 -*- '■ 



I — K 2 



qui représente une quadrique de révolution. 



