OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 203 



§ 157. 

 Valeur du paramètre de la congruence isotrope. 



Par des calculs dont nous supprimons le détail on trouve que sur l'hyper- 

 boloïde (u) le paramètre des génératrices de la quadrique (m) a pour valeur 



Vu? — u) (b* — u) <c» — m) 

 » = % 



(u — v) 



Quant à la dislance de la génératrice et de sa parallèle menée par le centre 

 de la sphère, on trouve 



Rien n'est plus simple que d'établir l'équation du plan tangent à l'un des 

 élassoïdes groupés, on a 



/(o s — «Ko*— 1>) l/(a 2 - M )(6 2 — «)(c 2 — u) [/(a i — v)(b i —v){c i — v) 



2 \ / : — : r X = m h m » 



V (6* — a 2 )^ — a 2 ) (m — v) (» — m) 



où 2 s'applique à trois termes permutés et où m et n sont des constantes 

 arbitraires dont l'annulation donne lieu aux deux élassoïdes moyen et 

 conjugué ou, plus exactement, aux deux nappes de l'élassoïde unique. 



§ 158. 



Discussion de l'élassoïde. 



Les coordonnées d'un point de l'élassoïde stratifié sont données par trois 

 formules symétriques de la suivante (*) 



XV^o 2 — a 2 )(c 2 — o 2 ; 



1 tml/(a s — u)(6 2 — m) (c 2 — m) [3 (a 2 — m) (6 s - v) (c 2 - v) + (a 2 — v) (& ! — u) (c 2 — u) \ 



{v—u) [— n \ / {a , — u)(b , — v)(<? — v)[Z{a* — v)(b*— k)(c*— u) + (a 2 — u){b*~v)[#—v)]) 



(*) L'élassoïde moyen s'obtiendrait en faisant »«=l , n=0, l'élassoïde conjugué en faisant wt=0, 

 «=1, un couple arbitraire de valeur de m et » correspond à un élassoïde stratifié arbitraire. 



