21 i ETUDE DES ELASSOIDES. 



§ 169. 



Formation d'un réseau isométrique sphérique composé de biquadraliqucs, 

 comme application de la théorie générale. 



On sait que les génératrices des paraboloïdes homofocaux peuvent être 

 considérées comme les rayons d'une congruence isotrope dérivée d'un certain 

 réseau isométrique tracé sur la sphère, réseau qui variera par conséquent 

 avec la position du centre de la sphère; cherchons en particulier ce qu'il 

 est dans le cas où la sphère a pour centre le point milieu du segment focal. 



Nous trouvons pour intégrales des lignes du réseau 



sin2w 



= 08, 



cos2j> 

 cos2w 



où a et b sont les constantes caractéristiques de ces lignes. En coordonnées 

 cartésiennes, on trouve 



6 = 



2RX 

 Y 2 — z 2 ' 



2YZ 



avec 11* = X 2 + Y 2 -+- Z 2 



2X 2 -+- Y 2 -+- Z 2 



ce sont donc des biquadratiques. 



Si Ton cherche l'expression du quarré de l'élément linéaire de la sphère, 

 on trouve 



(/S 2 I (1 h- o 2 )(l h- lr) 



R2 2 i + a *p + V/(i + a *)(| + aHr) 



<l<r db* 



(1 h aj (I -6 2 ) 2 _ 



ainsi se vérifie cette conséquence de la théorie générale, que le réseau est 

 orthogonal et isométrique. 



Voilà bien assez de détails au sujet des élassoïdes dérivés des paraboloïdes 

 homofocaux. 



