2i6 ETUDE DES ELASS01DES 



fonctions de u seule. D'un autre côté, la troisième équation de Codazzi, 

 appliquée au réseau (u, v) de i'élassoïde, donne 



par conséquent A" 2 -t- D 2 qui est fonction de y et de /' est une simple fonction 

 de u. Ceci démontre que sur la sphère les coeflicients du quarré de l'élé- 

 menl linéaire sont tous deux fonction de u seule. Dès lors les lignes y sont des 

 géodésiques et par conséquent des grands cercles ; les lignes u sont des cercles 

 géodésiques et par conséquent des petits cercles. 



On sait qu'un semblable réseau ne peut être composé que de grands 

 cercles ayant un diamètre commun et de petits cercles ayant pour pôles 

 les extrémités de ce diamètre. 



En conséquence le carré de l'élément linéaire de la sphère se mettra sous 

 la forme la plus simple 



dS* = du* -t sin 4 u.dv"-. 



Nous prendrons pour surface de référence la sphère rapportée à ce réseau 

 particulier. Désignons par / la distance du centre de la sphère (de rayon 

 unité) au plan tangent de I'élassoïde; posant 



on trouve pour l'élément linéaire de la surface-enveloppe du plan /, par les 

 calculs de périmorphie 



rfS 2 = [w + -î— W -t- (M- 1 -h N s )de s -+- 2N(- 1- M}dudv. 



\ sin 2 ;// \sin» / 



La surface est élassoïde si le réseau [u, v) correspondant au réseau sphé- 

 rique est orthogonal et n'est pas celui des lignes de courbure (ce qui élimine 

 l'hypothèse de N =0). 



