21 S ÉTUDE DES ELASSOÏDES 



S 172. 

 Forme des élassoïdes (eA 



L'élassoïde est composé de nappes identiques dont une entière s'obtient 

 en faisant varier u de à n el v de à --. 



La surface enlière s'obtiendra en faisant tourner cette nappe de l'angle — 

 indéfiniment. Si m est un nombre entier on retrouvera la nappe primitive, 

 après m rotations; si m est un nombre fractionnaire -, p rotations seront 

 nécessaires pour retrouver la première nappe - étant supposée irréductible). 



De ce (pie / ne change pas quand on change v en ^- — v, il résulte que 

 chaque nappe admet un plan de symétrie. 



Les élassoïdes (e,.), algébriques, correspondent aux valeurs commensu- 

 rables de m. 



§ 173. 

 Rectification des géodésigues principales. Lignes tle courbure. 

 Les lignes (?;) de l'élassoïde ont pour longueur 



s, = — 



u 



u 



<9. v 



m — i s in m 



Si l'on cherche l'équation des lignes de courbure, on trouve, pour l'angle 

 qu'elles font avec la ligne {y), 



iz mv 

 <f = k - -4- ■ — ; 

 f 2 2' 



mais l'angle mv est celui que fait la ligne (v) de l'élassoïde avec son image 

 sphérique, conséquemment : En un point d'un élassoïde (e r ) les directions des 

 lignes de courbure sont les bissectrices des angles que forment les directions 

 de la ligne (v) passant en ce point et de son image sphérique; ces angles crois- 

 sent proportionnellement au module m et au paramètre v. Une même ligne (y) 

 coupe sous un angle constant les lignes de courbure de la surface. 



