OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE 221 



X, Y, Z désignant les coordonnées d'un point de la polaire réciproque. On 

 trouve en exprimant / en X et Y 



(— 1)'"u (Y -+- îZ)'" -t- (Y — î'Z)"' w P — X 

 ~2m(m i — I) ~ (p — X)'" p ' 



d'où résulte pour l'équation cherchée 



[(Y -t- il)"' + (Y — iZ)"'](mp - X) = ïam (ni' — t)(X — P ) m . 



Il y a trois cas à distinguer suivant que m est un nombre entier, fraction- 

 naire ou incommensurable. 



1 ° Lorsque le module m est un nombre entier positif, la classe de l'élas- 

 soïde (e r ) est égale à 2 (m + 1). 



2° Le module m est commensurahle et égal à -, on a donc 



[(¥ -+- iZf -+■ (Y — iZy<}(mp — X)i = fc*(X - ? f, 



en donnant à /. la valeur 



ft = 2am(m'— 1) 



Pour faire disparaître les radicaux d'indice y, il faut former la norme de 

 l'équation, c'est-à-dire le produit 



<:'„"[ i ( Y + W + m y - ny \ \m 9 - x)« - k> (x - P )>] , 



où a[x désigne l'une quelconque des racines de l'équation binôme 



a- — 1 = 0. 



On obtiendra ainsi une fonction entière de X, Y, Z, p, de degré qfp -f- q) 

 qui sera le premier membre d'une équation où il ne subsistera plus qu'un 

 radical contenant p. Conséquemment V équation de la polaire réciproque sera 

 de degré 2y (p -+■ q). 



Par exemple, lorsque m = \ la classe est 12. 



3 U Lorsque m est incommensurable, les élassoïdes ne sont plus algé- 

 briques. 



