01 SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE 225 



située sur une quadrique de révolution homothétique à la quadrique fixe 



Y 2 + Z 2 -+-— - — X 2 = a ! . 

 m* — 1 



On peut trouver une autre relation indépendante de y. En posant 



cost) -+- isin v = X, 



on a les équations simultanées 



2 p-« .«■- « | 



- (Y -+- il) = i'" +i - — , 



P ' * P 



(Y — tZ) = — r )." 



entre lesquelles, si on éliminait /, on aurait une relation ne dépendant que 

 de u. 



§ 179. 



Les géodésiques principales (v) sont l'intersection de cônes du second degré 

 et de cylindres, elles sont de degré 2m — \ si m est entier. 



De même en cherchant à isoler les courbes (y) on trouve 



m'X- 



rZcos(>« — \)v i Ysin(»n — l)i-][Zcos(;n -+- \)v - Ysin(m -+• \)v\ = sin'mV, 



m* — I 



avec la relation 



2 r _ ... (/nXsinm«) m_1 .sin2m« 



- Zcos jh -i- 1 jr — Y sm [m -+- i)v] m =- ; 



a (m — I)"' 



ces lignes sont les intersections de cônes du second degré ei de cylindres, 

 ayant en commun l'intersection des plans 



X = Zcos'hi + 1)b — Ysin(tH -+- l)i? = 0. 



Conséquemment, lorsque m est un nombre entier, les courbes (v) sont 

 d'ordre %n — 1. 



Enfin, on peut trouver deux plans correspondants à chaque courbe (y) et 

 tels que cette courbe s'y projette suivant deux courbes toujours semblables à 

 elles-mêmes. 



