224 ETUDE DES ELASSOIDES. 



§ 180. 

 Géodésiques principales planes. Équation. 



On sait que les lignes (v) sont géodésiques, il en est de planes, toutes 

 identiques entre elles; une de ces courbes détermine Pélassoïde (e r ); on |)eut 

 la définir par les valeurs des coordonnées d'un point 



« „ «/ P'" +l 



Y .m V ' ( 



m ï> \m -+- I m — I 



ou comme l'enveloppe de la droite 



• a " 



Xcosu — i sin« = col"' — (wj — cosh). 



m (m 1 — 1 ) 2 v 



§ 481. 



m = 2, élassoïde d'Enneper du neuvième degré, m = |-, élassoïde de 

 douzième ordre et de douzième classe. Equations. 



Pour ne pas prolonger indéfiniment ces monographies, nous rappellerons 

 simplement que dans le cas où m = 2, l'élassoïde est celui d'Enneper; ses 

 lignes de courbure sont des cubiques planes; en appliquant les considéra- 

 lions développées ci-dessus, on trouve pour son équation 



("3/ . , 8 „\ 2 3(Y S — Z s )"|» rSX* Y» -Z s 2~| ! 

 [a s \ 9/3 aX J |_ 9a oX 3 J 



Un cas fort intéressant et qui justifierait une élude détaillée est celui où 

 m = { ; les lignes (v) dans ce cas sont des biquadratiques; l'équation de la 



surface est 



[l2(t*X-- (X r '~ 6a*Y)*\* 



= 27X( Y ! + V - — j 27a 4 X s [9X (Y 2 -+- Z s ) + (X s — 24o 4 Y)] — (X 3 — (iu'Y)"' | ; 



on voit qu'elle est du douzième degré; on sait d'ailleurs (pie cette surface est 

 aussi de douzième classe. 



