228 ETUDE DES ELASSOIDES 



chaque fois sans quadrature puisque nous avons rectifié les géodésiques 

 méridiennes de (e r ); elle sera algébrique en même temps que (s,), c'est-à- 

 dire toutes les fois que le module m sera commensurable. 



D'après un théorème (qui nous appartient), sur les surfaces (e r ) et (S), 

 nappes de la développée d'une surface dont les rayons de courbure princi- 

 paux sont liés, les asymplotiques se correspondent encore; conséquemmenl à 

 chaque valeur du module m correspondra une surface (S) dont on saura 

 trouver sans quadrature les asymplotiques. 



On obtient ainsi une double famille de surfaces (e r ) et (S) simultanément 

 algébriques et toutes deux applicables sur des surfaces de révolution; celles-ci 

 ne peuvent être que transcendantes quand elles sont réelles. 



§ 186. 



Sur les deux nappes de la développée d'un élassoïde les asymplotiques 

 se correspondent, ainsi qu'aux lignes de longueur nulle de l'élassoïde. 



Dans le même ordre d'idées, la théorie des élassoïdes met aussi en évi- 

 dence une famille intéressante de surfaces applicables sur des surfaces de 

 révolution; en effet, on peut envisager les deux nappes de la développée d'un 

 élassoïde comme satisfaisant à cette condition ; toutes deux sont applicables 

 sur une surface de révolution dont le profil serait une développée de chaî- 

 nette (qui serait, par conséquent, transcendante); pourtant chaque élassoïde 

 algébrique donne lieu à une développée algébrique. 



Si l'on applique notre théorème à ces nappes de développée d'élassoïde , 

 on voit que leurs asymplotiques se correspondent; elles sont toujours ima- 

 ginaires, mais elles correspondent aux lignes de longueur nulle de l'élas- 

 soïde dont elles constituent la développée. 



