OU SURFACES A COURBURE MOYENNE NULLE. 229 



§ 187. 



Propriété générale au sujet de doubles couples de surfaces 

 applicables l'une sur l'autre. 



Tout ce qui précède n'est point une conséquence propre de la théorie 

 des élassoïdes, mais bien de celle, beaucoup plus générale, des couples de 

 surfaces applicables Tune sur l'autre. Si les asymptotiques se correspondent 

 sur l'élassoïdc moyen et sur la surface moyenne d'une congruence isotrope, 

 si, de même, elles se correspondent sur les deux nappes de la développée 

 d'une surface dont les rayons de courbure sont liés, c'est qu'il se présente une 

 particularité commune, bien digne d'être mise en lumière : les deux surfaces, 

 dont les asymptotiques se correspondent, peuvent, dans chaque cas, être 

 considérées comme les lieux des milieux de segments dont les extrémités 

 décrivent des surfaces applicables rime sur l'autre. Or ces doubles couples 

 de surfaces applicables existent toujours associés, et le théorème que voici 

 montre qu'un couple quelconque entraîne avec lui son correspondant : 



Soient (A), (A') deux surfaces applicables, l'une sur l'autre, el (0) la 

 surface lieu des milieux des cordes joignant les points correspondants A 

 et A'; il existe toujours un autre couple (B) (IV) de surfaces applicables tel 

 (pie la surface (0) soit touchée par tous les plans perpendiculaires sur les 

 milieux des cordes BB'; les couples de points AA' el BB' sont réciproques. 

 Conséquemment les surfaces (0) el (û) lieux des milieux des cordes AA', 

 BB', sont les focales d'une même congruence de droites; de plus, les cordes 

 elles-mêmes sont parallèles aux normales en et Q des surfaces (0) 

 et (0), AA' étant parallèle à la normale de (û). Enfin, entre les longueurs 

 des cordes AA', BB', et les autres éléments de la figure, il existe la 

 relation 



A A x BB'sinV = & X On, 



où V désigne l'angle des normales à (0) et (û) el k une constante. On voit 



