250 ETUDE DES ELASS01DES 



qu'il y a une infinité de couples associés correspondant à toutes les valeurs 

 de la constante et dérivant d'une même congruence de droites Où; celle-ci 

 jouit donc de propriétés spéciales qui ont été mises en évidence dans le cas 

 particulier traité au chapitre VIII. 



§ 188. 



Autre propriété générale de la correspondance par orthogonalilé 



des éléments. 



Mais comme nous l'avons dit, celle théorie des couples de surfaces appli- 

 cables peut aussi être envisagée différemment : elle coïncide avec celle de la 

 correspondance des surfaces par orthogonalilé des éléments dont nous avons 

 parlé constamment au cours de l'élude qui précède. Il ne sera pas inutile de 

 donner ici (à raison d'une application fort simple aux élassoïdes) le théorème 

 qui domine la théorie. 



Soient deux surfaces (0) et (M) qui se correspondent par orthogonalilé 

 des éléments; si par les points de (M) on mène des droites D parallèles aux 

 normales de (0), elles forment une congruence telle que: 1°(M) en soit la 

 surface moyenne; 2° les plans principaux (tangents aux surfaces focales) 

 sont perpendiculaires aux asymptotes de l'indicatrice en à (0). 



Dès lors, si l'on trace les images sphériques («) el (/3) des asymptotiques 

 de (0), ce sont précisément les images sphériques principales de la con- 

 gruence (D). 



Conséquemmenl, si l'on connaît le réseau sphérique, image des asymp- 

 totiques d'une surface (0), il faudra chercher toutes les congruences l'admet- 

 tant pour image principale et leurs surfaces moyennes donneront l'intégrale 

 des surfaces (M) correspondant par orthogonalilé des éléments à (0). 



On peut se donner le réseau sphérique, image des asymptotiques (rime 

 surface inconnue; on sait que (si certaines conditions sont remplies) la sur- 

 face (0) est déterminée uniquement. Quant à la congruence (D), qui admet 



