92 /. Petzval. 



und diese Kräfte sind es, die am Elemente jxds sich das Gleichgewicht halten sollen, wenn 

 es sich nämlich um Angabe der Position des Gleichgewichtes handelt. Sie werden es thun, 

 wenn die drei Summen der unter (1), (2), (3) aufgezeichneten Componenten längs jeder 

 der drei Coordinatenaxen für sich Null sind, d. h. : 



(4) pXd. + ±{S±)dx=0 , t>Yds + ±(S d £)d X = , ^.+l(*£)«fe=0i 



Diese sind die Bedingungsgleichungen des Gleichgewichtes, die integrirt die Kettenlinie geben, 

 d. h. die Form jener Curve, welche der Faden unter der Einwirkung dieser Kräfte im Gleich- 

 gewichtszustande annehmen wird. Wird dieses Gleichgewicht irgendwie gestört, z. B. dadurch, 

 dass man den Faden ganz oder theihveise gewaltsam aus seiner Ruhelage bringt und ihn 

 dann wieder denselben Kräften überlässt, so entstehen Schwingungen von sehr kleinen Am- 

 plituden und man kann annehmen, dass am Ende der Zeit t die Coordinaten des Punktes m, 

 die in der Gleichgewichtslage x , y , z gewesen wären, übergegangen seien in x + £ , y + 37, 

 z 4- C 1 unter f , 7) , C sehr kleine Verschiebungen verstanden, in Folge deren der Faden zwar 

 hier und da eine tkeilweise Verlängerung oder Verkürzung erfahren kann, die wir aber so 

 gering annehmen wollen, dass dadurch /x keine wesentliche Veränderung erleidet, während 

 gleichwohl die Spannung S dadurch übergeht in S' = 8 + T, allwo T ein namhafter Zusatz 

 zu 8 sein kann, den man der Verlängerung des Elementes fids proportional anzunehmen 

 gewohnt ist, weil die Erfahrung vorliegt, dass so lange die Grenze der natürlichen Elasticität 

 nicht überschritten wird, die Verlängerungen elastischer Körper den Spannungen proportional 

 seien. Da solchergestalt c , 5J > C kleine längs den drei Coordinatenaxen durchlaufene Räume 

 darstellen, so sind die folgenden drei Producte aus der Masse fids des bewegten Theilchens 

 in die zweiten Differentialquotienten dieser Räume nach der Zeit t genommen, nämlich: 



(5) fxds— , fids^ , fids — 



die drei Componenten derjenigen Kraft, welche die wirkliche Bewegung des Theilchens fids 

 zu erzeugen vermag, wenn dasselbe von dem übrigen Systeme getrennt vorausgesetzt wird. 

 Diese Kräfte nun, in entgegengesetzter Richtung zu den anderen hinzugesetzt, müssen offen- 

 bar das Gleichgewicht wieder herbeiführen, man hat mithin die folgenden drei Differential- 

 gleichungen der Bewegung: 



ßds^=fxXds -f ±(B'$g%)dx 



f i ds^=fiYds + US'^-)dx 



ads-— = u.Zds 4- — f 8' — ) dx . 



' dfi ' dx\ d{s + a) > 



Hier müssen f , rj , <f und S' = $4- Tals Functionen zweier Veränderlichen x und t angesehen 

 werden, während y , z , fi, und auch X, Y, iT reine Functionen von x ohne t andeuten, diejenigen 

 nämlich, welche sich auf die Gleichgewichtslage des Systemes beziehen und das System der 

 Gleichungen (4) identisch erfüllen. Wenn im Bewegungszustande der Bogen s der Curve, 

 gezählt von irgend einem Punkte, zum Beispiele einem festen des Systemes, übergeht in 



