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J. Petz val. 



die die Gesetze der Schwingungen sehr flach und beinahe geradlinig gespannter Saiten in sich 

 enthalten. Da nun die Theorie der Schwingungen gespannter Saiten bisher nur in dem rein 

 hypothetischen Falle allenthalben gleicher Dicke und Spannung, mithin der gänzlichen Ab- 

 wesenheit beschleunigender Kräfte erledigt worden , der in der Natur nirgends anzutreffen 

 ist; so scheint die Integration der liier angeführten Differentialgleichungen mit variablen 

 Coefficienten, als diese Schwingungstheorie vervollständigend, einige Aufmerksamkeit zu ver- 

 dienen, die ihr nunmehr um desto leichter geschenkt werden mag, da die neuere Analysis zu 

 diesem Zwecke zureichende Mittel besitzt. 



Wir wollen jetzt den bisher noch nie in Betracht gezogenen Fall ins Auge fassen, wo 

 die Dicke des Fadens sich an einem bestimmten Punkte, dem Anfangspunkte der Coordina- 

 ten z. B. wo x = besteht, urplötzlich ändert, so dass alldort zwei verschiedene Fäden mit 

 ihren Enden verbunden erscheinen, die Masse der Längeneinheit des auf der negativen Seite 

 der Coordinaten bis zum Anfangspunkte sich erstreckenden Fadens, den man für den schwä- 

 cheren gelten lassen kann, sei m\ die Masse hingegen der Längeneinheit des stärkeren 

 Fadens, der sich auf der Seite der positiven x befindet und dort eine unbestimmte Längen- 

 ausdehnung besitzt, sei M; so ist die in unseren Rechnungen mit p. bezeichnete Grösse wohl 

 auch variabel, aber nicht in der stetigen "Weise, in der es die meisten in der Analysis ge- 

 bräuchlichen Functionen sind, und es vermag ein solches bei x = plötzlich vom Werthe m 

 bis M überspringendes ji nur wiedergegeben zu werden durch Functionsformen , deren Ge- 

 brauch ein seltenerer ist, z. B. bestimmte Integrale oder Exponentiellen der zweiten Classe 

 wie 0° . Wir ziehen hier die Letzteren vor und betrachten sie, um damit rechnen zu können, 

 als Grenzwerthe von Ausdrücken wie e 3 , unter gleichzeitigem Abnehmen von d und £ ge- 

 wonnen. Eine solche Function von x wollen wir im Folgenden mit x bezeichnen. Ist noch 

 dazu log d = — y und log s = — ß, so lässt sich % auch aufschreiben, wie folgt: 



e —- e 



-ße 



(25) X 



und man hat sich unter ß und y ins Unendliche wachsende Grössen zu denken , wenn man d 

 und e gegen die Nulle convergiren lässt. Statuirt man endlich der Bequemlichkeit wegen noch : 



e~ yx = r ; so wird / -— e~ ßT . 



Man überzeugt sich nun ohne sonderliche Mühe, dass die folgenden drei Systeme von 

 Werthen von x , r und % schematisch zusammenbestehen, wenn <? und e unendlich klein, oder, 

 was dasselbe ist, wenn ß und y unendlich gross geworden sind: 



a-<0 ;e = ,r>0 



r = oo r=l r = 



x = X '=0 X = i- 

 Hieraus folgt, dass wenn man sich /i allgemein für jedes x gegeben denkt, durch die folgende 

 Formel : 



(26) 



H = m -\- x' (M — m) 



in den aufgezählten drei Fällen demselben die folgenden drei Werthe zukommen werden: 



H = m 



t* 



,ii 



,i = N. 



