Über die Schwingungen gespannter Saiten. 97 



Dies ist also im analytischen Ausdrucke der Faden, wie wir ihn gerade wünschen, und wenn 

 wir uns ß und y nicht absolut unendlich, sondern nur als sehr bedeutende Zahlenwerthe den- 

 ken, so können wir daraus anstatt eines unstetigen Überspringens die mannigfaltigsten steti- 

 gen Übergänge der Fadenstärke m in die andere M in der Nähe des Coordinatenanfangs- 

 punktes und in einem mehr oder minder ausgedehnten Intervalle durch die Function % be- 

 werkstelligt denken, und dies ist es, was die Exponentialgrösse der zweiten Ordnung besonders 

 zu empfehlen scheint, um Übergänge von einem schwingenden Mittel in das andere, die in 

 der Nähe eines Trennungspunktes oder einer Trennungsfläche in einer vielleicht unmessbaren 

 Entfernung von derselben stattfinden , analytisch wiederzugeben. Es ist aber zu diesem 

 Zwecke nothwendig, dass man die Function % etwas näher kennen lerne , um von derselben 

 mindestens für beträchtlich grosse ß und y ein geometrisches Bild vor Augen zu haben. Dies 

 wollen wir unter der Voraussetzung thun, dass — und— mit einander vergleichbare kleine 



Grössen von der ersten Ordnung seien, jedoch von der Nulle verschieden. Man hat dann in 

 der Folge noch immer das Eecht, sie dem wirklichenVerschwinden nach Belieben zu nähern. 

 Die Gleichung: 



x = e~^ = e-^~ rz 



gehört unter solchen Voraussetzungen zu einer stetigen krummen Linie , die auf der nega- 

 tiven Seite der Coordinaten x mit der Axe derselben zusammenfällt, auf der positiven Seite 

 aber in eine zur Axe parallele Gerade übergeht, geführt im Abstände gleich Eins. Die Ver- 

 bindung dieser beiden Geraden findet Statt in der Nähe des Anfangspunktes durch ein 

 aufsteigendes Curvenstück , dessen Gestalt zu kennen wiinschenswerth ist. Wir legen zu 

 diesem Zwecke zu demselben in einem Punkte, dem irgend ein x angehört, eine Tangente. 

 Sie wird die Abscissenaxe schneiden unter einem Winkel, dessen trigonometrische Tangente, 

 wie man weiss, — ist. Man hat aber: 



' dx 



(27) / = *£= ß rX T. 



Da wir ferner wissen, dass dieser Winkel von einem Werthe Null, den er auf der Seite 

 der negativen x hat , wieder zu einem Werthe Null auf der Seite der positiven x zurück- 

 kehrt, so steht zu vermuthen, dass derselbe irgendwo ein Maximum oder Minimum haben 

 werde, d. h. wir schliessen auf einen Wendepunkt der Curve, für welchen: 



(23) t'=Hs=Pfzr[ßT-l] = 



besteht. Dies gibt aber : 



und diesem entspricht wieder: 



ch& 



1 .,, • logß 



z = — mithin x = - 

 ß r 



r 



X =t 



Dieser Werth von x ist kraft unserer Voraussetzungen eine sehr kleine Grösse der ersten 

 Ordnung zu nennen, während %' für denselben in eine sehr grosse Zahl übergeht. Unsere 

 Exponentialcurve wendet sich also in einer geringen Entfernung vom Anfangspunkte der 



Denkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVII. Bd. *** 



