98 J. Petzval. 



Coordinaten mit einer S-förmigen Krümmung scharf nach aufwärts und man ist bereits im 

 Stande, sie sieh in einem beiläufigen Zuge verzeichnet zu denken, wenn man erwägt, dass 

 wieder schematisch die folgenden drei Werthe zusammenbestehen: 



n l°9_ß_ ZlQffß 



* = t» 



<«») t=r * , x= l , ,= «-*=! ' + 



r 

 i 



x = ßr? ß , x - > x'= j e » 



ß 

 i 



— 3 * e ß 



X T=e* , xz=- , XJ=~p- 



In einem Zwischenräume also, der , mithin auch noch eine sehr kleine Grösse der 



r 

 ersten Ordnung ist, steigt das % von seinem kleinsten Werthe Null bis zu seinem grössten, 



nämlich Eins in die Höhe, wenn man auf einen kleinen Bruch von der Ordnung des — , der 

 dem x noch zur Einheit fehlt, nicht achtet, ein Unterschied, der dazu noch im ferneren Ver- 

 lauf der Curve sehr bald ausgeglichen wird, weil am Endpunkte des hier betrachteten Cur- 

 venstückes dennoch eine namhafte Ansteigung herrscht, z. B. eine von 45°, wenn ß = y ist. 



Nachdem wir auf diese Weise eine genügende vorläufige Kenntniss der Function % ge- 

 wonnen haben, nehmen wir die Differentialgleichungen der schwingenden Bewegung eines 

 so gestalteten Fadens vor, und zwar namentlich zuvörderst die zweite in y, welche die Gesetze 

 der transversalen Schwingungen in sich enthält. Für das hier vorausgesetzte /j geht sie 

 über in : 



(30) [m + f(M - m )]^ = S^. 



Um vor allem anderen diejenigen Genüge leistenden Werthe auszuschliessen, welche gar 

 keinen Schwingungszustand darstellen können und doch die Differentialgleichung erfüllen, 

 nehmen wir: 



(31) r t—y cos a t oder f)=^y sin a t 



unter y eine reine Function von x verstanden, die kein t mehr in sich enthält. Beide Annahmen 

 führen zu einerlei Differentialgleichung in ?/, nämlich: 



(32) S^ + a*[m+ x *(M— m)]y = 0. 



Dass es sich um die Integration einer solchen handle, wird wohl schon mancher, mit Schwin- 

 gungsproblemen beschäftigte Analyst bemerkt haben, aber die variablen Coefficienten, die 

 noch dazu Functionen enthalten der zweiten Classe, wie/ nämlich, haben ihnen die Hoffnung 

 genommen, bis zum Integrale vordringen zu können, nachdem die vorhandenen Integrations- 

 methoden nicht einmal für Differentialgleichungen mit algebraischen Coefficienten auslangen. 

 Wenn wir auch vor der Hand keine Theorie besitzen der Differentialgleichungen mit Coeffici- 

 enten, die sieh über die erste Functionsclasse erheben, z. B. mit Sinus, Cosinus oder Exponen- 

 tialgrössen oder gar mit analytischen Gebilden, von der Natur des y: so beherrscht uns doch 



