Über die Schwingungen gespannter Saiten. 99 



nicht mehr die Furcht vor veränderlichen Coefficienten, und wir wissen mindestens, dass 

 Differentialgleichungen mit Coefficienten der 3. Classe, wie die hier vorliegende, höchstens 

 Integrale der vierten Classe zulassen, und namentlich, wenn man sich solch' ein der vierten 

 Classe zugehöriges y denkt in der Form: 



(33) y = ef" n 



so enthält die Function <p in sich genau dieselben Ausdrücke der zweiten und dritten Classe, 

 die sich auch in den Coefficienten der Differentialgleichung vorfinden, denn erschienen sie 

 hier nicht, so könnten sie auch dort nicht vorhanden sein. Endlich gewahren wir in der vor- 

 liegenden Differentialgleichung der zweiten Ordnung, deren zweiter zu — gehöriger Coefficient 

 in die Null übergegangen ist, vom ersten auf den letzten Coefficienten ein Ansteigen um zwei 

 Einheiten in der Gradzahl nach /, mithin fällt auf das Coeffieientenpaar die Ansteigungszahl 

 Eins und es ist (p nach dem darin enthaltenen % vom ersten Grade. Wir können es also ver- 

 suchen, anzunehmen: 



f = a X + b 



(34) f = ay+2ab x +b* 



?' = a ßrx T ■ 



Nun aber gibt zunächst die Einführung des Werthes (33) folgendes Substitutionsresultat: 



(35) J'* u [ S{<p* + ?') + «° (m 4-/ [M—m])) = 

 und dieses verwandelt sich vermöge der Gleichungen (34) in : 



(36) = ef"* {(Scf + [M—m]rr)f + aß r S . X t + % abS . % + ma* + b 2 S\ 



Existirt nun wirklich ein Integral von der erkiesenen Form, so muss dieses Substitutions- 

 resultat gleich Null sein, sowohl für negative x, wie auch für positive, und namentlich auch 

 für solche positive x, die sehr wenig von Null verschieden sind. Nun verschwinden für nega- 

 tive x sowohl x 2 i w i e auch x T ur >d Xi w ^ e w i r gesehen haben, es kann also dieses Resultat 

 nicht gleich Null werden, ausgenommen wenn 



(37) ma* + b 2 S=0 



besteht. Ja auch eine Summe von ähnlichen Ausdrücken, wie der (33) von y, mit verschie- 

 denen <p kann nicht anders Genüge leisten, als wenn jeder derselben die Differentialgleichung 

 für sich erfüllt, wenn man mithin für jeden von ihnen eine Bestimmungsgleichung von der 

 Art der eben hingestellten bestehen lässt. Man hat also nothwendig: 



(38) 6= ±haV^l wo h = Y— 



ist. Für positive x lässt sich von der Differentialgleichung (32) und dem aus ihr gewonnenen 

 Substitutionsresultate dasselbe sagen. Es muss nämlich identisch übergehen in die Null. 

 Nun hat man aber für positive x, welche sich über die erste Ordnung der Kleinheit erheben 

 und z. B. auch nur mit yy oder ^- comparabel sind: 



x = x *=l und *r = 0, 



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