Über die Schwingungen gespannter Saiten. 101 



Ce<^ =I /^+ h >"- h ^l(—S(k + hf -f M—m)aY + aß r V~—l (k + Ji)S X t + 2k(k + h)a 2 S X ] + 



+ De aV ^fW'- h) *+ h ~ ]dx {{—S{k—hf + M—my-f + aßr\ r —L{k—h)SxT—2h(k—k)r/Sx] + 

 ( 43 ) 4. £ e <«1^/[-(*+*)jr+*^[(_ g(k+ Kf + il/— m)« 3 ^ 2 — « i 5 r |/^l(/ l ; + A)S/r + 2Ji(k + h)r/Sx] + 



+ Fe aV ^ß- {k - , ^-'' ]dx [{—S{k~lif + M—m)r/f~aßrV — l{k—h)Sx 



Überdies verschaffen wir uns noch durch wirkliches Integriren den Werth von ftpdx, 

 unter tp ganz allgemein den Ausdruck : 



(44) <p = a x + 6 

 verstanden. Es ist: 



(45) ffdx = afxdx -f bfdx. 

 Durch theilweises Integriren aber bekommt man : 



(46) fx^ x = X x — fx xdx = x x — ßyfx TX< ^ x 

 mithin : 



(47) ftp dx = {cix -\- b)x — a ßyfx T x ^ x - 



Innerhalb derjenigen Grenzen, wo unser Substitutionsresultat durch schickliche Wahl 

 von C , D , E und .F möglichst allgemein zu einer verschwindenden Grösse gemacht werden 



2 log ß 



soll, nämlich zwischen x = und x = — , muss man sowohl x, wie auch (a>x -\-b)x für 

 sehr klein und zwar der ersten Ordnung angehörig ansehen. Ein Gleiches gilt von dem Zu- 

 satzgliede : 



— aßffxTxdx. 



Wir haben nämlich gesehen, dass das Producta r, welches im Allgemeinen sowohl für 

 positive als negative x verschwindet, für sehr nahe an Null liegende, nur sehr kleine Werthe 

 anzunehmen fähig sei, von denen der grösste — ist. Hieraus folgt, dass das in Rede stehende 

 Integral : 



sei, oder mit anderen Worten 



aß r f X Txdx<-j 7 fxdx 



aßrfxrxdx <^ 



2e 



Dies ist aber eine kleine Grösse der ersten Ordnung, eben weil x eine solche ist. Für 

 solche x also, um die es sich hier handelt, d.h. für die zwischen den obangeführten Grenzen ge- 

 legenen, können wir eJ v ' ,x in eine convergirende Eeihe mittelst der bekannten Formel ent- 

 wickelt denken und von ihr nur ein paar Glieder beibehalten, nämlich : 



(48) ef 9dx = e ( a x + l ') j: - a ! j rfx TXdx = 



= 1 + (a% + b)x — aßyfxrxdx + — [ (a x + b) x — aßyfx^xdxf -j- . . . 



