102 J.Petzval 



Substituten wir hier anstatt a und b die vier unter (41) angeführten Systeme von Werthen 

 und setzen wir die Resultate dieser Substitutionen hinein in die Gleichung (43); so ergibt 

 sich : 



(49) 



= C{l + aV— l[(k+h)x— h]x — aßyV— 1 (fc 4- h)f X Txdx} X 



{[ — S{k±hf + M— m] a: f + a ßy V^l (k + Ä) S X t + 2 Ä (& 4- A) a 2 5/ } 

 + Z){l+al/Z^T[(Ä;— % + ä]sb — aß r V— l(k— h)f X zxdx] X 



{ [ — 8 {h — hf + iV — m] o: f + aßy V-^l(k — A) S X r — 2 A (&— Ä) a 8 <S* } 

 + £{1 4- ol/^T[ — (& + % + h]x 4- « ; 9 r 1 Hl (fc + h)f X Txdx\ X 



t [ — jS (Äs + ~lif+ M—m] a *f — aß r V~- ^T(k 4- h)S X z + 2h(k + k)a*S X \ 

 + F{l + aY^T[—(k—h)x—h]x + aßrV^-i(k—h)fxTxdx) X 



\[—S(k—hy 4- M— m]ay — «^1/^1(1;- h)8 X T— 2h(k— h)a 2 8 X \ 



Wir fangen nun damit an. das vorliegende Substitutionsresultat zu entwickeln und nach 

 seinen Bestandteilen zu gliedern, die, so lange C , D , E , F noch aller möglichen Werthe 

 fähig gedacht werden, verschiedenen Grössenordnungen insoferne angehören, als sie ver- 

 schiedenen Potenzen oder Potenzpro dueten der ins Unendliche wachsenden Zahlen ß und y 

 proportional gedacht werden. Wir bemerken zu diesem Zwecke, dass X un( i )ti a ^ s des gröss- 

 ten Werthes Eins fähig, der ten Grössenordnung zuzuzählen seien; hingegen sind x, so wie 

 auch x T und ßyf X Txdx von derselben ersten Ordnung der Kleinheit, da ihre Maximain dem 



in Rede stehenden Intervalle beziehlieh ° g , — und höchstens ° 9 sind, demungeachtet 



r t* e r e r 



hat aber das in unserer Gleichung erscheinende Product ßy X r einen Maximumwerth — , der 



eine ins Unendliche wachsende Grösse andeutet, mithin kommen in dem entwickelten Sub- 

 stitutionsresultate Glieder vor von der Ordnung des sehr grossen y, dann Glieder von der 

 Ordnung Null, worauf endlich andere folgen von der ersten, zweiten, dritten Ordnung der 

 Kleinheit u. s. w. Wir sind, die letzteren ausser Acht lassend, nur beflissen, die sehr grossen 

 mit y vergleichbaren und die der Ordnung Null angehörigen, durch schickliche Wahl der 

 Constanten C , D , E , F herabzubringen auf die erste Ordnung der Kleinheit, daher wir denn 

 unser Substitutionsresultat auch nur in diesem Grade der Entwicklung hinstellen, wie folgt: 



(50) L X r + B[ — 2f + 2 X + ß rx rx] +. N[—fTX+ßy X zf X rxdx}. 



Hier sind L , R , N constante Coefficienten, versehen mit den nachstehenden Werthen: 



L = aß r SV^l[{h 4- k) (C—E) + {h — h) (D- F)] 

 (51) R = o? h S [(& 4- k) (G+ E) — (k — h) (D + F)] 



N = rrßy S [(k + hy (C+E) + (k - hf (D + F)] 



und es wird offenbar der in Rede stehende Theil des Substitutionsresultates genau auf Null 

 reducirt, mithin das Resultat selbst in eine bei dem unendlichen Wachsen von ß und y gegen 

 Null convergirende Grösse verwandelt, wenn man die Constanten C , D , E , F so wählt, 

 dass sie die folgenden drei Bestimmungsgleichungen erfüllen: 





