Über die Schwingungen gespannter Saiten. 103 



(k + h) (C—E) + (k — h) (D — F) = 



(52) (k + h) (G + E) — (k — h) (D + F) = 



(k + hf (G+ E) + (k — h) 2 (D + F) = 0. 



Den zwei letzten unter ihnen kann nur dadurch Genüge geleistet werden, dass man : 



(53) G -f E=0 und D 4- F= 



annimmt mit Ausnahme des Falles k = h, der aber hier ausgeschlossen werden muss, weil 

 er einem Faden von allenthalben gleicher Stärke angehört, der nicht der Gegenstand dieser 

 Betrachtungen ist. Dem zufolge gibt aber die erste der vorliegenden drei Bestimmungsglei- 

 chungen : 



(k-\-h)C+ (k — h)D=0 



mithin hat man: 



(54) 



D F k + h 



Eine der vier Constanten bleibt also unbestimmt, und bezeichnet man eine neue Constante 

 mit IIV — 1, der diese vier alle proportional gedacht werden, so kann man annehmen: 



(55) C=- { ^HV-~1 , D = ^HV^1 , E=+ ( ~"lHV~^T , 



(* + *) 



Diese Werthe in die Gleichung (42) in y einführend und sodann die imaginären Exponen- 

 tiellen in trigonometrische Functionen Sinus und Cosinus verwandelnd , sieht man den 

 Cosinus verschwinden und das y in ein particuläres Integral mit einer einzigen Constanten U 

 sich verwandeln, nämlich: 



(56) y = II { (k—h) sin[ af[ (k + %— Ä] dx] — (k + h) sin [ af [ (k—h) X + h J d x\ } . 



Hat man aber bei einer Differentialgleichung der zweiten Ordnung ein particuläres Integral, 

 so kann man vermittelst des Kunstgriffes der Befreiung von demselben sich allsogleich auch 

 das zweite verschaffen, und zwar wenn allgemein die Differentialgleichung 



(57) X 2 y" + X i y'+X y = 

 heisst, vermittelst der Substitution: 



(58) y=yjzdx, 



allwo y l den einen bekannten Genüge leistenden Werth, und z eine neue abhängige Verän- 

 derliche andeuten. Die neue Transformirte in z ist in ihrer vollen Ausdehnung: 



(59) {X,yi' + X,yl + X^fzdx + [2X,tf + X lVl ]z + X 2 y t s' = . 



Sie verwandelt sich für den vorliegenden Fall, in welchem X S = S, X t = und 



A' = o: [m -+- f (M — m) ] besteht, in : 



(60) {Sy," + o: [m +.f (M— m)] Ih \fz dx + 2 Syt . z + Sy, z' = . 



