Über die Schwingungen gespannter Saiten. 105 



dann aber muss noch überdies a so gewählt werden, dass von Neuem ein Verschwinden von 



G 



y für x — A erfolgt. Bezeichnen wir die Constante — durch Ä", so ergibt sich für beliebige x 



H 



(64) y — K\ (k — h) sin [af( (k + h)% — K) dx] — (k + h) sin [af( [k—h )/ + h) d x] } X 



x 



f 



/ j (* — h) sin [a , 



x- 



*f{ik + h)% — h) dx] — {/c + h) sin [aj~( Oc — h) x + k) dx]\ '- 



oder mit Rücksicht darauf, dass: 



/[ (k + h) % — h) dx = (k -(- h)x x — hx — (k + h) ßyf%Txdx 

 (65) 



j [ (k — h)% 4- li\ dx = {k — h)x x + hx — (k — h) ßyfxzxdx 



ist, in entwickelterer Gestalt: 



y — K{(k — h) sin[a((k -\- h)/x — hx — (k + h)ß?f%Txdx)] — 

 (66) — (k + h)sin[a({k — h)%x + hx — (k — h)ßrf%Txdx)] } X 



dx 



«f. 



\(/c—h)sin[a(Uc+h)zit;—hx — (k+k)ßrJ-(Txdx)] — (k + /i)sin[a((k—h)xx-{-hx—(k—h)ßYfxTxdx)]\2 



und diese etwas lange Formel ist es, die den Werth von y allgemein für grosse ß und j richtig 

 angibt, für positive sowohl, wie auch für negative und für solche x, die nahe an Null liegen. 

 Sie gestattet, sowohl auf der negativen Coordinatenaxe der x, wie auch auf der positiven 

 bedeutende Abkürzungen, verwandelt sich aber jederseits in eine andere. Namentlich hat man 

 für negative x, von :r= — l bis x = überall / = und %z = 0, mithin geht y im ganzen 

 Bereiche des dünneren Endes des Fadens, d. - h. der negativen x über in folgenden einfacheren 

 Ausdruck: 



X 



. K . -, r dx -\- K r , cos a hl . . 1 



(0 7 v — sin alix / = icosa/ix -\ — sma/ixl = 



v ' J 24 / airflahx 2akh l sinakl. J 



= + Kk sin [ah (X + l)\ 



2 ah 4 2 sin ahl 



Diese Formel setzt bereits für x = — l einen festen Punkt oder Schwingungsknoten 

 voraus. Wäre kein solcher vorhanden und hätte die Seite in der Richtung der negativen x 

 eine unbegrenzte Ausdehnung, so brauchte man nur sich über die untere Integrationsgrenze 

 nicht zu erklären und dem Integralausdrucke eine willkürliche Constante beizufügen, d. h. 

 man hätte die folgende Formel aufzustellen: 



/ßg\ y = c -,,- [kcosahx + kJsinahx]. 



Die hinzugefügte Integrationsconstante heisst hier J und ersetzt, wie man sieht, in der vor- 

 hergehenden Formel den Bruch . . Diese Formel gilt, wie gesagt, für negative x und für 



sm ahl 



ein nach dieser Seite hin unbegrenztes System. 



Für positive x hingegen, die von Null verschieden sind, hat man/ = 1, fernerer = 0, 

 und das als Factor in der allgemeinen Formel vorhandene Integral kann durch Zerlegung des 

 Intervalles zwischen den Integrationsgrenzen in drei verschiedene bestimmte Integrale zerlegt 



Iienkschriften der mathem.-naturw. Cl. XVII. Bd. 



