106 J. Petzval. 



werden. Das erste besitzt die Grenzen — l und — e, unter e eine sehr kleine Linie ver- 

 standen, das zweite ist mit den Grenzen — e und -f- e versehen, das dritte ist ausgedehnt von 

 -+- s bis zu demjenigen x, für welches das angehörige y gerechnet werden- soll. Da man aber 

 in dem ersten dieser drei Intervalle überall % = %z = hat, so ergibt sich der Werth des 

 ersten dieser drei Integralbestandtheile , d. h. des zwischen den Grenzen — l und — e 



genommenen 



1 ( cos a he cos ah l 



4 a h k- I s/n ahe sin a h l 



ferner zwischen den Grenzen -- e und -\- e hat überall x einen sehr kleinen Werth und der 

 Sinus eines solchen Ausdruckes, Avie die in der Formel (65) vorfindigen, kann in diesem 

 Bereiche füglich ersetzt werden durch den Bogen. Thut man dies, so ergibt sich: 



(69)/ 



dx 



\(k—h}sin [a ((k+h)yx — hx — (k-\-h)ßy fyzxdx)} — (k-\-h) sin[oL (ik—h) yx-\-hx —(.k—h)ßyfxTxdx)]^ 



r dx 



I 4 a-' k- h 2 x* 



2a-'i ! 4 ä e 



In dem dritten Intervalle endlich, nämlich von £ bis er, hat man, wenn £ gleich oder 

 grösser als " gewählt wird, allenthalben: 



% = 1 und jr = 0. 



Mithin ergibt sich der folgende Werth dieses letzten Integralbestandtheiles: 



cos akx cosak e i 



f dx I i cos akx 



/ ih-si/i- akx \alfik \ sin akx 



sin akx sin ak e \ 



Aggregirt man jetzt die drei gewonnenen Integralbestandtheile mit Rücksicht darauf. 



dass vermöge des sehr kleinen Werthes von e: 



os ak e 1 . cos a h e 



und 



8 in flt k £ a k £ sin a Ae alt £ 



besteht, so erhält man sofort für positive x : 



r x dx ■ 



(71) / {(&— h)sin[a((k— h)yx— hx — (k+h)ßr fyzxdx)] — (k+ä) sin[a((k— h)yx±hx — (k— hifiy f yrxdx )\\ '■ 



1 ( -, cos ah 1 -, cos akx 



\h- h k- 



ialfik 2 \ sin a hl 



Bei einem nach der negativen Seite hin unbegrenzten Systeme hat man sich auch hier 

 über die untere Integrationsgrenze nicht zu erklären und dem unbestimmten Integrale eine 

 willkürliche Constante J anzuhängen, die, wie schon früher bemerkt, an die Stelle des Bru- 

 ches - - tritt, so dass also der in Gestalt eines Integrales im Werthe von y erscheinende 



sin ahl 



Factor für alle positiven x, die von Null verschieden sind, und für einen nach beiden Seiten 

 hin, nach jener der negativen und positiven Coordinaten x nämlich, unbegrenzten Faden den 

 folgenden Werth annimmt: 



