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besteht. Dies heisst mit anderen Worten, in der Zeit den Ort so zu verändern, dass die ele- 

 mentare Verschieb ung dieselbe bleibt, oder mit derselben Bewegungsgrösse beziehlich Wel- 

 lenhöhe mitgehen, dx ist dann der bei einer solchen Verfolgung in der Zeit At durchlaufene 

 Raum und man sieht aus der Gestalt der Gleichung (77), dass dieselbe Verschiebung, die 

 man sich nach Belieben als Wellenhöhe Maximum oder auch Null denken kann, mit der Ge- 

 schwindigkeit + — längs der Axe der x fortgepflanzt werde. Es bedeutet also ein jeder Sinus 

 oder Cosinus einer Differenz einen Wellenzug, der in der Richtimg gegen das positive Ende 

 der Axe der x fortschreitet, dagegen jeder Sinus oder Cosinus einer Summe einen gegen das 

 negative Ende eben derselben Axe sich fortbewegenden Wellenzug, und es beweisen die vor- 

 liegenden zwei Formeln für ^, dass vier solche Wellenzüge in der schwächeren sowohl, wie 

 auch in der stärkeren Hälfte des Fadens als einander entsprechend zusammen bestehen 

 können. 



Man trägt stets Sorge, complicirtere Bewegungen, soweit dies angeht, auf einfachere 

 zurückzuführen, weil dies zur möglichst klaren Auffassung des ganzen Herganges der Er- 

 scheinungen dienlich ist. Es kann daher auch hier die Frage entstehen, ob sich nicht diese 

 aus vier Wellenzügen beiderseits zusammengesetzte Bewegung in mehrere einfachere zerlegen 

 lasse, die einander ebenfalls entsprechen und zusammen bestehen können. Man sieht sehr 

 bald, dass dem wirklich so sei, denn man kann erstens einmal A = und B von der Null 

 verschieden , dann zweitens B = und A von der Nulle verschieden annehmen und be- 

 kömmt auf diese Weise einfachere Werthe von jy, die aber immer noch viergliedrig sind, 

 mithin beiderseits vier verschiedene Wellenzüge andeuten. Man kann aber auch über die 

 Werthe der vier Constanten A , B , K , J noch in einer anderen Weise verfügen, so näm- 

 lich, dass auf einer Seite, z. B. der der positiven x, nicht vier, sondern nur zwei Wellenzüge 

 vorkommen, die noch dazu in einerlei Richtung, z. B. gegen das positive Ende der Axe der 

 x zu fortschreiten. Dies wird der Fall sein, wenn in der Formel (76) Sinus und Cosinus der 

 Summe je die Nulle zum Factor erhalten, also wenn: 



(78) . kA — hBJ=0 und kAJ+kB=0 



ist. Die beiden Formeln (75) und (76) gehen unter diesen Umständen über in 



K j \ B [(h + k) cos a (h x — t) + (h — k) cos a (h x -f t)] -f 



;?9) 



' " ia h k- { + ji [(& __ fy s i n a (hx + t) + (k + h) sin a (h x — t)\ 



rj = —^—7 { 2 B h cos a ( k x — t) + 2 A h sin a(kx — t) } . 



Hier sind jedoch die bestimmten A und J doppelwerthig, weil sie so aus den beiden 

 Gleichungen (78) hervorgehen. Man hat nämlich durch Auflösung derselben: 



(80) A = ± BV^Ä . J= ± jV'-^T 



allwo die oberen und unteren Zeichen einander entsprechen. Die Substitution dieser Werthe 

 für A und /erst mit dem oberen, dann auch mit dem unteren Zeichen führt zu folgenden 

 zwei Paaren von Werthen für ^, die als zwei Auflösungen, wenn auch als imaginäre , des 

 Schwingungsproblemes zu betrachten sind : 



