für x <C 



(81) 



Über die Schwingungen gespannter Saiten. 109 



k b l (h — k) sin a (kx -\- t) — (A4- k) sin a ( h x — t) + 



~ ia h *m\+ V—l[ (A + k) cos a(kx — t) + (h — jfe) coä a (h x - t) ] 



KB 



für x > 37— — { — 2hsina(kx — £) + 2äV — lcosa(&a: — t)\ 



und 



kb ( (h — k) sin a(hx + — (A + k) sin aijix — t) — ) 



für x <C 7? — < / 



/go) " 4a/ ' 2/ ' : (— V— 1 [ (Ä + &) cos « ( 7«x — «) + (h - &) cos 0. (h x + «)] i 



für er > 37 = — — { — 2hsina(kx — t) — 2hV — lcosa(kx — t)}. 



iah 3 k 



Da nun aber vermöge der linearen Form der Gleichung in r t nicht blos diese Werthe 

 als Genüge leistende zu betrachten sind, sondern dazu noch alle diejenigen, die man aus 

 ihnen gewinnt durch Multiplication mit beliebigen Constanten und Addition, so wird man 

 sie auch zu einander addiren und von einander abziehen können. Die so erhaltene Summe 

 und Differenz, mit beliebigen Constanten multiplicirt, sind dann ebenfalls und zwar sehr ein- 

 fache Genüge leistende Werthe, welche die Bedeutung elementarer Schwingungsweisen haben. 

 Man hat also auch: 



(83) 

 oder: 



(84) 



für x < iq = 51 [(k — h) sin a (h x + t) 4- (h + k) sin a (hx — t)] 



für x ;> 7j = 2h$lsina(kx — t) 



für x < i] = 33 [(A 4- k) cosa (hx — t) + (h — k) cos a (h x + t)\ 



für x > ^ = 2 h$Q cos a (k x — t). 



Das Ergebniss dieser Rechnungen ist, dass es zwar sehr einfache Schwingungsweisen 

 gibt, bestehend aus einem einzigen Wellenzuge auf der Seite der positiven x, der auch dem 

 Ende dieser positiven Axe zuschreitet, und zwei in entgegengesetzten Eichtungen sich bewe- 

 genden Wellenzügen auf der Halbaxe der negativen x. Sie können aber durch die in der 

 Form (75), (76) gewonnene Integralformel nicht dargestellt werden, erscheinen jedoch als 

 Resultat zweier imaginärer in dieser Gestalt gewonnener Auflösungen. Welches Paar von 

 Formeln man nun auch immer erwählen mag, gleichgiltig, ob das mit den Sinusen oder das 

 zweite mit den Cosinusen, immer hat man es mit drei Schwingungsweisen zu thun, deren 

 Amplituden sich zu einander verhalten, wie die Grössen: 



k + h , 2h , k—h. 



Die Wellenzüge, zu denen sie gehören, könnte man den einfallenden, gebrochenen und 

 refleetirten Wellenzug nennen, diese Bezeichnungen aus der Licht- und Schalllehre auch auf 

 die Saitenschwingungen übertragend. 



Man kann aber auch durch Übereinanderlegen von unendlich vielen solchen Wellen- 

 zügen eine einzige Welle erzeugen, z. B. eine solche, die im Momente f = auf der Seite 

 der negativen Coordinaten befindlich gegen den Anfangspunkt beim Wachsen der Zeit sich 

 bewegt und alldort reflectirt und gebrochen wird. Da man auf diese Weise die allerklarste 

 Einsicht in den Vorgang dieser Erscheinung gewinnt, so wollen wir auf diesem Wege die 

 allgemeine Auflösung unseres Schwingungsproblemes vornehmen. Zu diesem Behufe mag 

 bemerkt werden, dass in den vorliegenden zwei Paaren der Gleichungen für tj die Constanten 



