110 J. Petzval. 



A und B auch Functionen von a sein können und noch überdies von einer neuen Grösse p. 

 Man kann namentlich annehmen: 



(85) 2t = — sinap.f(p) und 33 = — cosap.f(p), 



überdies kann man noch beide Paare von Werthen für rj multipliciren mit dem Factor da dp 

 und erhält auf diese Weise Ausdrücke, die auch die Eigenschaft haben, Auflösungen zu sein 

 des Schwingungsproblemes. Endlich kann man die Summe, oder was dasselbe ist, das Inte- 

 gral des so erzeugten Differentialausdruckes nach a zwischen den Grenzen und oo, nach p 

 aber zwischen den Grenzen — oo und -fco nehmen. Auf diese Weise ergibt sich aus den 

 vorliegenden vier Formeln für ^, zu zweien zusammengenommen, das folgende Paar von 

 Gleichungen: 



fürx<C0 rj = — / / [[k -\-k) cos a(kx — t—p) — (k — h)cosa{ — hx — t — p)]f(p)dadp 

 (86) 



für ar> y = — / / 2hcosa(kx — t — p)f(p) dadp 



— oo 



oder vermöge der wohlbekannten Fourier'schen Formel: 



fürcc<0 rj = {h+k)fQix—t)—(k—h)f(—hx—t) 



^ ' für x > rj = 2 hf{kx—t) . 



Dies ist vorderhand ein Integral mit einer einzigen willkürlichen Function/', dem man 

 den Gang der Erscheinungen entnehmen kann auf folgende Weise: Angenommen, man hätte 

 im Momente ^ = auf der Seite der positiven Coordinaten x noch gar keine Bewegung, so 

 dass dort allenthalben ^ = besteht. Da dies f(kx) = verlangt, so entspringt aus einer 

 solchen Voraussetzung allsogleich eine Eigenschaft der Function f{x). Sie verschwindet näm- 

 lich für alle positiven Werthe der darin enthaltenen Veränderlichen. Nur für negative x, so 

 wollen wir annehmen, sei die Functiony(a;) von der Nulle verschieden und zwar habe sie für 

 x = — b einen grössten Werth g und nehme von da an bis zu x = — b — d und x = — b -f- d 

 bis zu Null ab, so dass also die Function f die Eigenschaft hat, zu verschwinden für alle 

 Werthe der darin enthaltenen Veränderlichen von — oo an bis zu — b — d, von da an bis zu 

 dem Werthe — b dieser Veränderlichen zu einem Maximum g emporzusteigen, dann von 

 x— — b bis x = — b -j- d wieder bis zu Null abzunehmen und endlich in dem ganzen Inter- 

 valle von — b -\- d bis -\- oo abermals zu verschwinden. Es entspricht diesen Voraussetzungen 

 im Zeitmomente f = auf der Seite der negativen x ein Werth von r t , nämlich: 



(88) rj = (k+h)f(hx) - (k-h)f(-hx) 



dessen zweiter Bestandtheil der Nulle gleich ist, weil für alle negativen x die Variable unter 

 dem Functionszeichen, die dort — hx ist, lauter positive Werthe erhält und weil vorausgo- 

 setztermassen die Function f die Eigenschaft hat, für positive Werthe der Variablen zu ver- 

 schwinden. Man hat also im Momente £ = einfacher Weise: 



(89) r) = {k + h)f{hx). 



