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Über die Schwingungen gespannter Saiten. 115 



G' 3 (»— 1)'- 



G2" (»+1)2 



genau dieselbe Formel, die für die Reflexion der Lichtwellen bei senkrechter Incidenz 

 bekannt ist. 



Die Integralformel, der wir diese Aufschlüsse über die Natur der schwingenden Bewe- 

 gung entnommen haben, enthält noch nicht die allgemeinste Lösung der Aufgabe, denn man 

 gewahrt in ihr nur eine einzige willkürliche Function f, während bekanntermassen jede par- 

 tielle Differentialgleichung der zweiten Ordnung zwischen nur zwei unabhängigen und einer 

 abhängigen Veränderlichen ein allgemeines Integral mit zwei willkürlichen Functionen 

 bestimmter Grundgrössen zulässt. Man kann aber den Integralausdruck durch Hinzufügen 

 einer neuen willkürlichen Functionsform zu vervollständigen suchen, indem man von der 

 Voraussetzung eines anfänglichen, dem Zeitmomente £=0 entsprechenden Impulses ausgeht 

 und dann die Wirkung dieses Impulses, ausgedrückt durch das ihm angehörige jy, zu jener der 

 Ausbiegung, d. h. zu dem rj der Formeln (87) hinzufügt. Zu diesem Behufe nehme man die 

 elementaren, annoch trigonometrischen Ausdrücke (83), (84) für yj wieder vor und differen- 

 tiire sie nach £, so ergibt sich : 



(96) 



oder 



(97) 



f ü r x < — = 31 a [ (k — h) cos a(hx -f t) — (h 4- k) cos a(hx — t)] 

 für x- > — = — 2 h a St cos a (k x — t) 



dt 



für x <C — = 33 a. [ (k -\- h) sin a (h x — t) — (h — k) sin a (h x -\- 1) ] 

 fürx>0 — =2ha3$sina(kx — t). 



dl v ' 



Nun erwähle man anstatt der Constanten 21 und 53 die folgenden Functionen von a und von 

 einer neuen Grösse p: 



(98) $L = -^coaapF(p) , 33 = ~sinapF(p), 



multiplicire sodann die vier so erhaltenen Ausdrücke mit dem Differentialfactor dadp und 

 addire sie zu zweien, die für die negativen x bestehenden zusammen und die für positive x 

 giltigen ebenfalls in ein Aggregat zusammennehmend, hierauf integrire man noch nach a 

 zwischen den Grenzen und oo, nach p aber zwischen — oo und oo. Das sich auf solche 

 Weise ergebende Paar von Formeln für rj ist: 



OO -\- OD 



fürx'<;0 — = — / [(k — h) cos a (hx -\- 1 — p) — (k-\-h)cosa{ — hx-\-t — p)]F(p)dadp 

 (99) 



für x>0 ^j- = f j2hcosa( — kx-\- t—p) F(p)d adp 



— oo 



oder nach der bekannten Formel Fourier's: 



15* 



