118 J. Petzval. 



Welle aufgehoben ist, und nur für die progressive gibt die erhaltene Formel die Gesetze 

 der Fortpflanzung und Reflexion. 



Man kann sich aber dennoch die allgemeinste mit zwei willkürlichen Functionen be- 

 stimmter Grundgrössen ausgerüstete Integralformel verschaffen, wenn man nicht von den 

 elementarsten Formeln (83) und (84) ausgeht, die nur von drei Wellenzügen sprechen, sondern 

 von den anderen (75) und (76), die annoch von acht solchen, vier Wellenzüge nämlich auf 

 der Seite der positiven Coordinaten x und eben so vielen auf der entgegengesetzten Seite, 

 Zeugniss geben. Der hiezu dienliche Schritt der Rechnung ist der folgende: Man gebe den 

 willkürlichen Integrationsconstanten K und J die durch die folgenden zwei Gleichungen 

 bestimmten Formen : 



(106) 

 und wähle hiezu ein erstes Mal 



sodann aber auch umgekehrt 



K _ f(p) KJ _F{p) 



A = cos ap , B = sin a p , 



A=sinap , B^cosap, 



multiplicire ferner die auf diese Weise aus den Formeln (75) und (76) hervorgehenden Werthe 

 für rj mit dem Differentialfactor da dp und integrire sie sodann nach a sowohl, wie auch nach 

 p zwischen den Grenzen — oo und +oo. Der Vergleich mit der bekannten Fourier'schen 

 Formel leitet dann zu den folgenden Ausdrücken, die ebenfalls die Eigenschaft haben müssen, 

 die Differentialgleichung in rj zu erfüllen. Sie sind für negative x: 



(107) rj = kf(hx + t) -\-kf(— hx + t) 4- kF(hx—t) — kF(—hx — t) 

 und für x^> 



(108) r]=kf(kx + t) + kf{—kx\ t) + hF(kx — t)—hF(—kx — t) 



und dies ist wirklich die allgemeinste Integralformel, die nicht nur die frühere, durch die 

 (87) dargestellte specielle Auflösung, sondern auch die erwartete, von welcher eben die Rede 

 war, als besondere Fälle in sich enthält. Namentlich erhält man die erstere von ihnen, indem 

 man zwischen den Functionen/^) und F(x) diejenige Verwandtschaft annimmt, welche durch 

 die Gleichung: 



(109) kf(x)=hF(—x) 



ausgedrückt ist und zwar für beliebige x. Dadurch verwandelt sich nämlich unsere Inte- 

 gralformel in die folgende: 



für x < 7) = {h + k)F(hx — t) — (k — h)F(—hx — t) 

 ^ ' fürx>0 y = 2hF(kx— t). 



Dieser Ausdruck ist offenbar von dem unter (87) vorhandenen nicht verschieden. Allein man 

 kann sich auch eine Auflösung anderer Art aufstellen, wenn man f(x) und F(x) in die fol- 

 gende verwandte Beziehung stellt, die auch für beliebige x zu gelten hat : 



(111) kf(x)=—hF(-x). 





