Über die Schwingungen gespannter- Saiten. 119 



Die allgemeine Integralformel geht hiedurch über in: 



fürz<0 7j= — (A + k)F(— hx — t) — (h — k)F(hx— t) 

 ■ ' fur»>0 13 — — 2hF(— hx— t). 



Dies ist offenbar etwas von dem Früheren Verschiedenes und man kann nicht nur eines für 

 sich und das andere ebenfalls für sich als Auflösung des Schwingungsproblemes ansehen für 

 übereinstimmende sowohl, wie auch für verschiedene Functionsformen anstatt F(x) gesetzt, 

 sondern man kann sie auch aggregiren, nachdem man in irgend einer dieser Formeln das 

 Functionszeichen .Fin ein anderes, etwa — /verwandelt hat. Man hat mithin auch: 



füra<0 y = (h+k)\f(— hx— t)'+F(hx— t)] — {k— h)[f(hx— t) + F(— hx— t)] 

 ( für x > rj = 2 h [/(— lex — t) + F(kx—t)] 



und diese ist die Formel, die nicht nur die erwartete obenerwähnte Auflösung in sich enthält 

 als speeiellen Fall, sondern auch noch unzählige andere, davon verschiedene; namentlich 

 erhält man die erwartete, indem man die beiden Functionen/ und F in der folgenden Ver- 

 wandtschaft zu einander stehend betrachtet: 



(114) F(x)=J{—x). 



Dadurch ergibt sich nämlich 



für x < rj = (A + k) [F(htB + 1) + F(hx—t)]—(k—h) [F(—hx + t) + F (—hx — t)] 

 [ ' für x> rj = 2h [F(kx + t) + F(kx — t)]. 



DifFerentiirt man diese Formel nach t, so ergibt sich der Werth der Geschwindigkeit: 



für x <0 J =(A 4- k) \ F (hx + t)—F' (hx—t)]—(k—h)[F (—hx+ 1) — F (—hx—t)] 

 (116) 



für x> 2 = 2 h \F (kx -\-t)— F (kx — f)] 



und in dem besonderen Zeitmomente t = 



für x < rj = 2 (Ä + fe) F (h x) — 2 (&— Ä) F(— Aa:) , j ( = 



(117) , 



für .r > 7}=±hF(kx) . 2 = (). 



Da hier zu beiden Seiten — = ausgefallen ist, so gibt es keine Anfangsgeschwindig- 

 keit als Erregungsmittel. Nimmt man zudem an, parallel mit den früher gemachten Vor- 

 aussetzungen, dass eine anfängliche Ausbiegung nur auf die Seite der negativen x falle mit 

 dem Maximum bei x = — b, so hat offenbar die Function F die Eigenschaft, für alle posi- 

 tiven Werthe ihrer Variablen zu verschwinden. Der anfängliche Werth" von rj auf der Seite 

 der negativen x reducirt sich hiemit auf das erste Glied und bietet ein Maximum 2 (A + k) g, 

 unter g den grössten Werth verstanden, den die Function F anzunehmen fähig ist. 



Bei dem Wachsen der Zeit t erhält die Variable unter einem der Functionszeichen F, 

 nämlich — hx + t auf der Seite der negativen x offenbar nur lauter positive Werthe, mithin 

 die Function selbst nur lauter versehwindende. In gleicher Weise auf der entgegengesetzten 

 Seite die Variable hx -\- t auch wieder nur positive Werthe, was abermals der Function F 



