Über die Schwingungen gespannter Saiten. 121 



K l , , 7 cosahl . 7 ) 



C\v()\ = l kcosakx + h sniakx) = 



K . / 7 \ ( 7 cosahl , cosak.v) 



y = -\ sin (akx)\h 1- k > 



2aÄ*2 v ' \ sin ahl ' siuakx) 



( 7 7 7 cos ahl 7 ) 



{kcosakx 4- h sinakx) = 



( sin ahl ) 



k ( t (k -\- h) sin [a (kx + hl)] — ) 



' 2ah&<rin(ahl) \ i(yfc h) sill[a (kx — hl)] )' 



Diese P'orrnel gilt von x = bis x = oo, mithin für ein nur nach der Seite der posi- 

 tiven x unbegrenztes Fadenstü'ek. Will man es im Punkte x = X endigen lassen, so hat man 

 noch das Verschwinden für x = k zu veranstalten. Hiezu ist aber die Constante Ä' unbrauch- 

 bar , mithin ist man genöthigt , wie in anderen Schwingungsproblemen dieser Art, das 

 ursprünglich gewählte a. zu diesem Zwecke zu verwenden, dasselbe mithin so zu wählen, 

 dass 



7 7 7 cosahl . , 



k cos o.kX + h sin akA = 



sin ahl 



wird, oder was dasselbe ist : 



(121) k cotang akk = — h cotang o. h l. 



Die Wurzeln dieser transcendenten Gleichung in aufsteigender Ordnung, von der klein- 

 sten angefangen , seien : 



«., , «, 



Es sind deren unendlich viele. Wir sind nun berechtigt, sie anstatt o. der Reihe nach 

 alle einzuführen in die Formel für y, jeden der auf diese Weise gewonnenen Ausdrücke mit 

 dem Cosinus at und auch mit Sinus at durch Multiplication zu verbinden und noch überdies 

 einem jeden der so erhaltenen Producte eine andere willkürliche Constante anzuhängen; so 

 wird schliesslich auch die Summe aller dieser so gewonnenen Ausdrücke einen Werth von 5j 

 vorstellen, so dass man also ganz allgemein hat: 



(122) rj = S \ [ A r cos a,. t -f B r sin a r t] 2 h sin [a,. h (x + 1)] } 



i 



für negative Werthe von x. Die durch das Zeichen S angedeutete Summirung bezieht sich 

 auf die Wurzeln a n , a 3 , « 3 . . . . der obigen transcendenten Gleichung, und man kann sich 

 auf die positiven beschränken, wenn man erwägt, dass die ebenfalls unter ihnen vorhandenen 

 negativen keine der Form nach verschiedenen Glieder zum allgemeinen Integrale liefern, die 

 man also mit anderen zusammenziehen kann. Für positive Werthe von x hingegen hat man 

 auf dieselbe Weise die folgende andere allgemeine Integralformel : 



(123) 7] = S\[A r cosa,.t + B,.sina,.t][(k + h)sm\a r (kx+ hl)} — (k — h)sin[a T (kx — hl)}]\. 



i 



Die mit A und B bezeichneten Integrationsconstanten besitzen in beiderlei Formeln 

 einerlei Werth und stehen annoch zur Verfügung, um den Bedingungen für t=Q, die die 

 Art der ursprünglichen Erregung darstellen, Genüge zu leisten. Beide Formeln lassen sich 



Denkschriften der matheni.-naturw. Cl. XVII. Bd. 1(5 



