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J. Petzval. 



noch durch Multiplication der in ihnen vorhandenen trigonometrischen Ausdrücke und Ver- 

 wandlung der Producte von Sinus und Cosinus in Functionen der Summe und Differenz hin- 

 stellen, wie folgt: 



(124) yj = 8 { a r cosa r (t-\-hx) + b r cosa r (t — hx)+c r sina r (t-\-hx)-\-i> r sina r (t — hx)} 

 i 



für negative x, und: 



oo 



(124) rj — S \%[,.cos a r (t 4- kx) + 5ö,co5 a,.(t — kx)-\-<ä, r siria r (t-\-kx) + <£) r sina r (t— kx)} 



i 



für positive x mit den folgenden Werthen der Constanten : 



u,. = A r k sin a r hl — B r k cos a r h 1 



£>,. = A r k sin a. r h l 4- B,. k cos «,. h l 



c,. = B r k sin a r hl -\- A r k cos «,. h l 



b. = B. k sin a, h l — A r k cos a. h l 

 (125) 



31,.^ A T k sin a r hl — B r h cos a r hl 



S3,.= A r k sin «,. h l -f- B r h cos o. r h l 



(ä,. = B r k sin a r hl -f A,. h cos a,. h l 



S), .= B r k sin a r hl — A r h cos a,. h l. 



Diese Formeln geben bereits über die Schwingungsweise eines solchen gespannten 

 Fadens einige Aufschlüsse. Zuvörderst sieht man nämlich, dass in einem jeden Gliede der 

 darin vorhandenen Summen Sinus und Cosinus vorkommen des Binomes o. r {t ± hx) oder 

 a,.(t + kx). Jeder derselben gewinnt wieder denselben Werth, wenn a,.t gewachsen ist um 2tt, 



also wenn t zugenommen hat um --. Es ist daher in beiden Formen, d. h. in beiden Abthei- 



Ge- 

 lungen des Fadens, der schwächeren sowohl, wie auch in der stärkeren, einerlei Schwingungs- 

 dauer vorhanden. Nennt man sie also 0,. für diejenigen der elementaren Bewegungsweisen, 

 der die r te Wurzel «,. der transcendenten Gleichung (121) angehört, so besteht: 



(126) 



e,.= 



1-K 



a r 



Ferner bleibt ein jeder binomische Ausdruck, wie t ±hx unter dem Zeichen Sinus oder 

 Cosinus unverändert, wenn man zu gleicher Zeit x in x 4- Ja" und t in t 4- J^ verwandelt, so 

 jedoch, dass 



(127) 



dt ± hJx = 

 mithin: Jx= + — At 



h 



wird. Man kann dt als eine verflossene Zeit und Jx als die in derselben beschriebene Strecke 

 ansehen, welche der Punkt x durchmessen hat, dem einerlei Werth von sin a(t ± hx) oder 

 cosa(t±hx) angehört. Dann ist aber — die Geschwindigkeit dieses Punktes mit dem Zeichen 

 -f- oder - - versehen, was der Richtung nach entgegengesetzte Bewegungen andeutet. Erwägt 



