124 J. Petzval. 



Ton, den eine solche Saite zu schwingen fähig ist. Die weiteren a 2 , a 3 , ... . a r geben die 

 rascheren Schwingungsweisen, beziehlich die höheren Töne. Wir wenden uns also zur Trans- 

 cendenten (121) zurück und nehmen behufs der leichteren Übersicht über die unendlich vielen 

 Wurzeln, die ihr entsprechen, in den verschiedenen Fällen, die der Mannigfaltigkeit der 

 Werthe h , k , l , X angehören, zuvörderst den allereinfachsten unter ihnen vor, den nämlich, 

 hl = kX. Die transcendente Grleichung in a geht unter dieser speciellen Voraussetzung 

 über in : 



(132) (k 4- h) cotang ahl = 

 oder, da h -|- k nicht verschwinden kann, 



(133) cotang ahl = 0. 



Es wird ihr Genüge geleistet durch die folgenden Werthe des Bogens ahl: 



r. 3- ö- (2r— l)i7 



(134) ahl=- ,_,.... <-— - L ... 



Ihnen entsprechen die folgenden Werthe von a und von #, welches gleich — ist und die 

 Schwingungsdauer bedeutet: 



- 3tz 5- (2 r — \)tz 



a. = — , — ,--,... . . . 



2hl 2AZ -llil 2 kl 



{ °' ) A 7 , 4hl \hl ihl 



d = 4 hl ,■-, — ,. . . . . . 



Da diese Werthe von 6 im Verhältnisse der reciproken Werthe der natürlichen Zahlen: 

 1 , — ,--,... zu einander stehen, so sind sie unter einander commensurabel und eine solche 



3 ' 5 ' 



Saite vermag wirklich consonirende Töne ebenso zu schwingen, wie eine andere von durchaus 

 gleicher Dicke. Da jedoch Töne, die im Schwingungsverhältnisse 1 : 2 zu einander stehen, 

 hier gänzlich fehlen, so verweigert eine solche Saite, so scheint es wenigstens auf den ersten 

 Blick, gerade die consonanteste aller Consonanzen, nämlich die Octave, d. h. welchen Ton 

 sie auch immer schwingen mag, so gibt sie auch alle mit demselben consonirenden Töne, die 

 Terz, die Quint u. s. w., nur die Octave ist ausgeschlossen. 



An solchen besonderen Ergebnissen des Calculs bezweifelt man gewöhnlich die Richtig- 

 keit und findet sich daher auch hier veranlasst, zu untersuchen, ob dieser Mangel der conso- 

 nantesten aller Consonanzen wirklich in der Natur der Sache, oder lediglich in der Natur der 

 Formeln begründet sei, die vielleicht die Eigenschaft haben, alle Schwingungsweisen des 

 Systemes in den verschiedenen möglichen Fällen nicht darstellen zu können. Da uns dies 

 bereits vorgekommen ist und da namentlich das gewisse unter (75), (76) gegebene vierglie- 

 drige partieuläre Integral mit reellen Coefficienten die einfachste und elementarste Schwin- 

 gungsweise darzustellen nicht geeignet war, so ist man auch hier um so mehr berechtigt an 

 den Mangel der Octaven zu zweifeln, wenn hl=kX besteht, als man allsogleich, wenn auch 

 nicht die reine Octave doch wenigstens einen ihr nahe kommenden Ton auftreten sieht, wenn 

 diese zwei Producte // / und kX nämlich, wenn auch noch so wenig von einander verschieden 



