Über die Schwingungen gespannter Saiten. 125 



ausfallen, und wirklich überzeugt man sich nach reiflicher Überlegung von dem Vorhan- 

 densein der Octaven. Sie sind aber nicht enthalten in dem allgemeineren Werthe von ?/, der 

 unter (63) vorkömmt, und mit einem unbestimmten Integralzeichen ausgerüstet ist, sondern 

 in dem früher gewonnenen Aggregate zweier Sinus, das ein particuläres Integral mit nur 

 einer einzigen Constanten H der Gleichung in y darstellt, und unter (56) zu ersehen ist. 

 Diese Formel gibt nämlich für x<CO: 



(136) y = — 2kHsinahx 



und für x> 



(136) y = —2hMsinakx. 



Es ist klar, dass auch diese Formeln eine mögliche Schwingungsweise des Systemes dar- 

 stellen ; auch kann man die Punkte x = - — l und x = X festmachen, ohne dadurch die Schwin- 

 gungen, die durch diese Formeln dargestellt werden, aufzuheben, denn weil hl = kX voraus- 

 gesetzt ist, so bekommt man nur eine einzige Bedingungsgleichung, nämlich: 



(137) sinahl=0 



die erfüllt sein muss, wenn die genannten beiden Punkte durch die ganze Dauer der Bewe- 

 gung in Ruhe bleiben sollen. Dieser Gleichung aber entsprechen die folgenden Reihen von 

 Werthen für a und 0: 



- 27T 3- 



n oa\ a ~ ~M ' ld ' lü ' 



(lob) 



6= 2hl , hl 



»hi 



3 



Hier hätte man also die Octaven auch, nur sind sie nicht gegeben durch die allgemeineren 

 Formeln, sondern die einfacheren (136), die hinwiederum nur für den Fall hl = kX und noch 

 dazu für eine Reihe denselben gleichgeltender Fälle, also jedenfalls für specielle Fälle hl 

 und kX eine wirkliche Schwingungsweise repräsentiren können. Es ist nämlich erforderlich, 

 dass vermittelst derselben a den folgenden zwei Gleichungen: 



(139) sin ah 1=0 und sinaJcÄ — 



Genüge geleistet werde; nun entsprechen aber der ersten von ihnen die Wurzeln (138), der 

 zweiten die folgenden: 



( 14 °) « = £ ' £ > £ . ■ • •■ 



und es kommen offenbar dieselben Werthe von a nicht nur dann in beiden Reihen vor, wenn 

 hl = kk ist, wo sich dann die beiden Reihen Glied für Glied entsprechen, sondern auch wenn 

 kk = — , oder hl = ^, oder endlich allgemeiner noch -- = — ist, unter r und s beliebige 

 ganze Zahlen verstanden, d. h. mit anderen Worten, wenn aus den Wurzeln (138) die r'* 

 gleich der s' eu in der Reihe (140) ausfällt. Ist nun aber -- = — , so ist auch — = — , d. h. 



" x ' r s nr ns 



auch die ns u Wurzel aus der (138) ist der nr tw aus (140) gleich, unter «jede beliebige Zahl 



