126 J. Petzval 



verstanden, für welche die Produete nr und ns in ganze Zahlen übergehen. Wenn man daher 

 die unendlich vielen, den beiden -Keinen gemeinschaftlichen Werthe von a der Reihe nach 

 aufzählt, so ist die Anzahl derselben zugleich die Anzahl der verschiedenen Schwingungs- 

 weisen, deren eine solche Saite fähig ist und die durch die Formeln (136) dargestellt werden 

 können; die übrigen Schwingungsarten aber vermögen nicht gezogen zu werden aus dieseiäj 

 einfachen Formeln, sondern sind aus den allgemeineren (12-4) abzuleiten. Sind hl und kk in- 

 commensurabel, so treten die einfacheren (136) ganz aus der Wirksamkeit und man hat alle 

 Schwingungsweisen aus den allgemeineren (124) abzuleiten. Es kann hier noch hinzugefügt 

 werden, dass die ersteren dieser Formeln den Anfangspunkt der Coordinaten , für welchen 

 x = ist, zu einem Schwingungsknoten machen, die anderen hingegen sich mit x = Q und 

 r/ = Q für jedes t in der Regel gar nicht vertragen, woraus folgt, dass der Anfangspunkt der 

 Coordinaten, in welchem die zwei verschiedenen Saitenstücke an einander stossen, zwar ge- 

 legentlich Schwingungsknoten sein könne, jedoch nur dann, wenn hl und kX commensurabel 

 sind. Um über die Bedeutung dieser beiden Produete Aufschluss zu gewinnen, bemerke 

 man, dass 



h=Y^- und /,=v- 



' S ' s 



sei. Hiebei sind m und M die Massen der Längeneinheiten der Saite am schwächeren und 

 stärkeren Ende. Nimmt man nun z.B. an, die Saite sei durchwegs eylindrisch, mit den Radien 

 (> und 11 an dem schwächeren und stärkeren Ende und den Dichten d und .D, unter Dichte 

 hier die Masse der Volumseinheit des Stoffes, aus welchem die Saite besteht, verstanden, so 

 sind die Querschnitte -p- und ~B 2 und desshalb wird 7n = ~p'o : il/=~i? 2 D mithin 



U=l P \^ , kX = X R \^. 



Hier sind offenbar lp und XB die Längenschnitte der beiden verschiedenen Stücke, aus 

 welchen die Saite zusammengefugt ist, dividirt durch 2, und nimmt man nebstdem noch an, 

 dass d=D ist, also dass die beiden Saitenstücke aus einerlei Stoff bestehen, so hat man: 



U'.kX = lp: XR. 



Die Längenschnitte sind es also, die mit einander commensurabel sein müssen, wenn der An- 

 fangspunkt der Coordinaten die Rolle eines Schwingungsknotens übernehmen soll. Die übrigen 

 Schwingungsknoten, die dann nebst dem Anfangspunkte noch vorhanden sind, findet man ohne 

 Schwierigkeit, indem man für diese beiden Längenschnitte das grösste gemeinschaftliche 

 Mass aufsucht und dann sowohl das stärkere, als auch das schwächere Ende jedes für sich in 

 einander gleiche Theile, deren Längenschnitt gleich diesem gemeinschaftlichen Masse ist, ein- 

 theilt. Alle so gewonnenen Theilungsp unkte sind dann ebenfalls Schwingungsknoten. Sie sind 

 offenbar äquidistant auf der Seite der negativen x sowohl, wie auch auf jener der positiven. 

 Die Entfernung zweier nächster in der schwächeren Abtheilung der Saite ist aber grösser als 

 in der stärkeren, und es verhalten sich diese Entfernungen umgekehrt wie die Radien p und r. 

 Mit diesen so gewonnenen Schwingungsknoten besteht aber die langsamste derjenigen Schwin- 

 gungsweisen, bei welcher der Anfangspunkt unbeweglich bleibt, die rascheren und höher 



