Über die Schwingungen gespannter Saiten. 127 



tönenden Schwingungsweisen dieser Art bekömmt man, indem man zwischen je zwei dieser 

 so ermittelten Schwingungsknoten entweder einen oder zwei oder drei , mit einem Worte 

 eine beliebige Anzahl von neuen solchen in gleichen Abständen interpolirt. Jede der beiden 

 Abtheilungen der schwingenden Saite tönt unter solchen Umständen eigentlich für sich, der- 

 gestalt jedoch, dass nur solche Schwingungen als zusammen möglich betrachtet werden 

 können, deren eine Abtheilung sowohl, wie auch die andere fähig ist. Es scheint indessen 

 auch ohne allem Beweise klar, dass die Schwingungen, deren zwei oder mehrere Bestand- 

 theilen eines materiellen Systemes je für sich fähig sind, auch im ganzen Systeme bestehen 

 können. Diese sind es also, die die einfacheren Formeln (136) liefern, mit Ausnahme der 

 Amplituden lehren sie uns daher nichts Neues. 



Suchen wir uns jetzt auch die Orte zu verschaffen derjenigen Schwingungsknoten, die 

 den tieferen Tönen, welche der Saite, wenn sie nicht theilweise, sondern als Ganzes schwingt, 

 angehören und für welche die unter (135) aufgezeichneten Werthe von a. gelten. Wir legen 

 uns zu diesem Zwecke das Formelpaar für rj in der Gestalt (122) und (123) vor Augen, 

 indem wir die dort vorhandene r u Wurzel, Namens «,., in ihren für hl=kX bestehenden 

 Werth umsetzen: 



2 hl 



(14!) , =s *sj[X«.ä^22 + *rf.a^S.]*[5^.(-f + l)] 



Diese Formel gilt für negative x\ für positive Werthe dieser Variablen besteht die folgende 

 andere: 



(142) 1 = S[A r cos^±- 4- B r s i n±-^L-][(k-h)sin±-—-{---l)- 



_(*+A)*i!^£+l)] 



oder weil man kX anstatt hl setzen kann, und zugleich: 



(2' V)tz ( x \ . , , . x 



Y 1 -{-T + 1 ) = (- 1 ) '- 1 co S (2r— 1)- — 



( 2,- i K ( ^ +l) = ( _ irlco5(2r _ 1)r ^ 



sin 



■sin 



sin 



ist, in einfacherer Gestalt : 

 (143) 



für x < rj = 2 k b l\ A. cos r ß r sm I ( — 1)' ' cos — 



fur*>0 V = 2ks\[A r cost^ + B,Mn^=^] { ^lr cos^^> 



Ein jeder Bestandteil dieser beiden Summen ist für sich eine Auflösung des Problemes. 

 Der erste deutet den tiefsten Ton an, den die Saite zu schwingen fähig ist. Ihm entspricht 

 r=l, und reducirt man die beiden Summen auf die für r = l gewonnenen Glieder, so 

 hat man: 



