128 J. Petzval. 



für x <C0 rj = 2 k \A, cos 1- B-, sin — 1 cos — 



,, . ,. ' L 1 2hl ' 1 1hl J 21 



(144) 



iur a; >> >9 = — 2 k\ A, cos — + ß, sm — cos — . 



' L 1 2hl ' i 2hl J 2 k 



Diese Formeln stellen den tiefsten Ton dar, dem die Schwingungsdauer: #=4/?7 angehört. 

 Die Saite schwingt dabei völlig ohne Schwingungsknoten, da für negative x und zwar von 

 .r = bis x — l der Factor cos^— von der Nulle verschieden bleibt und ebenso für positive 

 x der Factor cos — von x = angefangen bis x = X nicht Null wird, und erst für x = — l 

 und x=k selbst die beiden Cosinus verschwinden. Diesen tiefsten Ton schwingt also die 

 Saite als ein Ganzes. 



Heben wir jetzt aus den beiden Summen (143) die ?* ten Glieder heraus, die ebenfalls eine 

 Auflösung des Problemes enthalten, so dass man auch berechtigt ist: 



c. i / •, n . , ^ 7 r . (1r— l)ltt T1 . (2t — \)-t l (■>;■— l)7r.c 



für x < » = (— 1) ' ' 2 & A r cos — 4- B r sin - — cos - — 



,-,.-, ' ' L r 2hl r 2hl J 21 



(145) 



für a: > 37 = — IV 2 A; L4, cos - h 5,. sm — cos — 



' ' L ' 2hl 2hl \ •->/. 



anzunehmen. Hier ergeben sich bereits eine gewisse Anzahl von Schwingungsknoten , auf 

 der Seite der positiven sowohl, wie auch der negativen x. Man erhält sie durch Auflösung der 

 beiden Gleichungen : 



■- 



(2r — l)-.c (2r—\)-Kx 



(146) COS = , COS- ' = . 



V ' 21 2X 



Sie liefern bezüglich die folgenden zwei Systeme von Wertheii : 



l AI 01 , 



-2-^1 > -n=i > -i^n ,••••.»- 



v y / 3/ 5;. 



2 r — 1 ' 2 r — 1 ' 2 r — 1 ' 



Die dadurch bezeichneten Schwingungsknoten sind, wie man sieht, beiderseits äquidistant 



O 7 



und fallen auf der Seite der negativen x in den gemeinsamen Abstand — — , auf der Seite 

 der positiven x hingegen in den Abstand - — . Hievon machen nur diejenigen eine Aus- 

 nahme, die dem Anfangspunkte der Coordinaten am nächsten stehen. Diese befinden sich 

 nämlich in der gegenseitigen Entfernung - — . Die Schwingungsdauer hat hier den Werth: 



ihl . . ?' l 



0= , die sich zu der früheren, dem tiefsten Tone entsprechenden verhält wie 1 : 2r — 1. 



2r — 1 l 



Es sind dies also lauter commensurable, harmonische Töne. 



Durch die Voraussetzung, von welcher wir ausgegangen sind, dass nämlich die Saite für 

 x= — l sowohl, als auch für x = \ einen festen Punkt habe, ist durchaus nicht gesagt, dass 

 sie sich nur von x = — l bis x = k ausdehne und ausserhalb dieser Grenzen nicht mehr vor- 

 handen sei, sondern es werden lediglich die so bezeichneten zwei Punkte zu Schwingungs- 

 kuoten gemacht, daher denn auch unsere beiden Formeln (143) von einer solchen beschränk- 

 ten Ausdehnung der Saite nichts wissen, es gibt vielmehr die erste von ihnen von Null ver- 

 schiedene rj auch über 2' = — l nach der negativen Seite hinaus und ebenso die zweite 



