Über die Schwingungen gespannter Saiten. 129 



bestimmte Werthe des yj über x = X hinaus. Diese Formeln bestehen also, wiewohl sie für 

 hl = kX speciell abgeleitet wurden, auch dann noch ganz umgeändert, wenn man /in 21, 3Z, 

 41 , . . . sl verwandelt und ebenso, wenn man X in 2 X , 3A , 4X , . . . übergehen lässt, d. h. 

 man kann die Länge eines jeden Bestandteiles der Saite mit jeder beliebigen ganzen Zahl 

 vervielfachen und wird hiermit eine neue Saite erhalten, welche dieselben durch die Formel 

 (143) gegebenen Töne zu schwingen fähig ist nebst anderen jedoch, deren Repräsentation 

 nicht in diesen Formeln liegt. Es gelten also diese Formeln, so oft hl und kX, d. h. die Pro- 

 ducte aus den Längenschnitten in die Quadratwurzeln der Dichten commensurabel sind, sie 

 reichen aber nur im Falle hl = kX hin, um alle diejenigen Schwingungsweisen darzustellen, 

 bei welchen der Trennungspunkt x = der beiden verschiedenen Saitenstücke kein Schwin- 

 gungsknoten ist, und namentlich geben sie den tiefsten Ton bei einem anderen Verhältnisse 

 von hl zu kX als jenem der Gleichheit nicht. Dieser tiefste Ton also wäre in den verschie- 

 denen Fällen noch aufsuchen, was wir zuvörderst für den Fall thun wollen, wo kl und kX 

 wenig von einander verschieden, aber incommensurabel sind. 



Wir fangen damit an, die Beschaffenheit der Wurzeln a, die unter dieser Voraussetzung 

 der Transcendenten Genüge leisten, zu erforschen. Zu diesem Zwecke lassen wir das a von 

 einem Werthe Null an allmählich zunehmen. Die beiden Bogen ahl und ahX unter dem Zeichen 

 Cotang behalten hiebei ebenso, wie hl und hX anfänglich einen nur sehr geringen Unterschied, 

 und ihre Cotangenten tragen einerlei Zeichen, bis der grössere dieser Bogen einen Quadranten 

 überschritten hat. Seine Cotangente wird dann negativ und wächst nach dieser negativen 

 Seite von Null angefangen, dagegen die Cotangente des kleineren Bogens annoch positiv ist 

 und im fortwährenden Abnehmen gegen Null zu begriffen. Hier gibt es also nothwendig 

 einen Werth o., der das Polynom unserer transcendenten Gleichung: 



/,■ cotang akX -\- h cotang ahl = 



verschwinden macht und es bietet sich also eine erste Wurzel, die in einer der beiden Gestal- 

 ten: a 1 hl = — — a x oder a x hX = - t - -\- r x erscheinen kann, unter <r 1 und r, sehr kleine, 

 zugleich positive oder zugleich negative Bogen verstanden. Nachdem bei dem ferneren 

 Wachsen von a beide Bogen einen Quadranten überschritten haben, wird der grössere von 

 ihnen allmählich zum Betrage von zwei Quadranten heranwachsen und seine Cotangente wird 

 alldort plötzlich von — oo zu -f oo überspringen, dann aber vom Werth -f oo gegen Null 

 zu fortwährend abnehmen. Gleichzeitig nähert sich aber die Cotangente des kleineren Bogens 

 dem Werthe — oo. Hier gibt es also nothwendigerweise wieder ein «, welches das Glei- 

 chungspolynom auf Null bringt, also eine zweite Wurzel, die man in einer der beiden Ge- 

 stalten a 2 hl = - — o-o oder a,,kX = tt + t 2 voraussetzen kann, unter tr 2 und r 2 abermals ganz 

 kleine, aber dasselbe Zeichen tragende Bogen verstanden. Lassen wir nun «ferner wachsen, 

 so finden wir auf dieselbe Weise in der Nähe von drei Quadranten wieder eine Wurzel « 3 , in 

 der Nähe von vier Qradranten eine andere Wurzel a 4 u. s. w. allgemein in der Nähe des /■' "' 

 Quadranten eine r te Wurzel a r in der Gestalt : 



(148) a. r hl = — — a r oder a T kX = — + ~, 



Es versteht sich von selbst, dass die Bogen : o^ , <r 2 » °s ■> • • • °V un< ^ r i ? ~a > r 3 7 • • • • r .- 

 stets grösser und grösser werden müssen, je grösser der Stellenzeiger ist, den sie tragen, und 



Denkschriften der mathem -naturw. CI. \ VII Bd. 



