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dass man nur die ersten von ihnen in bestimmter Anzahl als sehr kleine Grössen zu behandeln 

 • las Recht habe. Angenommen nun, a T und r r wären noch in diesem Falle sehr klein, so geben 

 die vorliegenden Werthe von a r hl und a r kX in die transcendente Gleichung eingeführt, ent- 

 weder : 



k tang ~ r — h tatig o r = , oder k fang a, — h tätig z T = . 



je nachdem r ungerade ist, oder gerade. Ersetzt man nun tang a r und tang -,. durch die 

 ihnen gleichgeltenden Reihen, hingezeichnet in nur ein paar Anfangsgliedern, so ergibt sich 

 entweder : 



Ar ä ho* 





oder 



Iit. 4- — = ha. A - 



a s 



oder in erster Annäherung, indem man die dritten Potenzen der sehr kleinen Bogen r,. und o r 

 einstweilen ausser Acht lässt: 



/' r = ha r oder h~ r = ka r . 



Hiemit gibt die Substitution für r,. in die beide Gleichungen (148) gemacht und Gleich- 

 stellung der beiden aus ihnen hervorgehenden Werthe für a, entweder: 



(149 a, = - , oder « = 



\ > 2 h-1 -f k-A ' ' 2 hk{l + /.) ■ 



Die erste Formel gilt nämlich für ungerade, die zweite für gerade r. Man erhält mithin' 

 die folerende Reihe von Wurzeln a: 



tt h + k h+k brz h+k 



( l0 °) a i = ö -^TXIiT- ' «3 = — -^TT-IJT > «• = 



i l.i l i a, = 7r — • a, = "_'- — ■ . a, = .:<- 



hlil 4- i\ 1,1-1-,. 



4 ;, 



Sie entsprechen zwei verschiedenen Reihen von Tönen, von welchen die ersten unter 

 sich, die zweiten wieder unter sich consoniren. aber jeder Ton der ersten Reihe dissonirt mit 

 allen Tönen der anderen, so dass man sagen kann, dass mit dem tiefsten oder Grundtone der 

 Saite verglichen alle Octaven, die sammtlich zur zw-eiten Reihe gehörig sind, fälsch er- 

 scheinen. Aber auch die Consonanz der Töne jeder Reihe unter sieh ist nur approximativ 

 richtig, wovon man sich überzeugt, die dritten Potenzen von a r und -. dadurch in Rechnung 

 ziehend, dass man a\ und z\ durch ihre aus der ersten Approximation gezogenen Werthe 

 ersetzt und dann eine neue Bestimmung von «,. vornimmt. Das Ergebniss ist entweder: 



(152) a, = - p 



Ifil + k* i 3 (/*=* l + *- /.) (* + h 





