Über die Schwingungen gespannter Saiten. 131 



oder : 



_ ^r ft + A r»7^(A-t)JS 



ersteres für ungerade, letzteres aber für gerade Werthe von r. Man- ersehliesst aus diesen 

 Formeln zwei Reihen von dissonirenden Tönen: der Octave nahe liegende kommen nur in 

 der zweiten Reihe vor und die Dissonanzen sind merklicher zwischen den Tönen verschie- 

 dener Reihen^ als zwischen denjenigen, welche zu einer und derselben Reihe gehörig sind. 

 Der ersten von ihnen entsprechen ungerade r, der zweiten aber gerade dieser ganzen posi- 

 tiven Zahl. Sie sind: 



- h + h t3 hk(k—h)& 3- k + k _ 3 3/,k(k — /,]■;■'• 



•2 Ifi l + k- k ' i" {)fi l -4- k- X) (k + hf <«■'< ' ' 3 ~~ 2~ Ifll -t- l-l (/i'/ - k-/.i(k-\-lifafi ' 



h + k 8 -3 (6-*) £3 _ j 64 *■(* - t) «J3 



A*(Z + A) ' 3 (7 -|- A) (A + hf eu3 * ' /,/,,■/ + ^ 3 (Z + >.)(* + A) 2 o>3 



In allen diesen Formeln bedeutet oj die halbe Summe. <? aber die halbe Differenz der 

 zwei Producte kX und ä/, so zwar, dass: 



// 1 + k / /.■ >.— hl 



2 ' 2 



ist. Jedes der zur ersten Reihe gehörigen a steht zu dem entsprechenden « der zweiten Reihe 

 keineswegs in dem Verhältnisse 1 : 2, so wie dies sein müsste, wenn die schwingende Saite 

 reine Octaven tönen könnte, sondern in einem merklich genug davon abweichenden, z. B. 

 wenn man k = 2h hat und zuo-leich d = — , so ergibt sich — = — mithin ist der zweite Ton. 



ö 10 ° a, 29 



den eine solche Saite zu schwingen vermag, von der Octave des ersten und tiefsten Grund- 

 tones verschieden und zwar um mehr als — Ton und etwas weniger als — Ton. Die 



4 ° 2 



Octaven sind also sehr falsch, während Terz und Quint ziemlich rein klingen, nachdem der 

 zweite Theil des Werthes eines jeden a jederzeit einen sehr massigen Werth hat, wie man 

 sich sehr leicht und am allerbesten in einigen numerischen Beispielen überzeugen kann. 



Fragt man jetzt nach der Stellung der Schwingungsknoten, die einer Wurzel o. entspre- 

 chen, so erhält man offenbar die auf die Seite der negativen x fallenden und zwar allgemein 

 für o. = a,. , wenn man die negativen Wurzeln der Gleichung: 



(156) sin [a r h (x + /)] = 



von der numerisch kleinsten angefangen alle aufsucht. Diese ihrem Zahlenwerthe nach 

 kleinste Wurzel sei — x l} so wird man die zweite, die dritte und die übrigen Wurzeln alle 

 dadurch bekommen, dass man zu .r, lauter solche Zusätze macht, in Folge deren der Bogen 

 unter dem Zeichen Sinus um eine halbe Peripherie zunimmt. Ein solcher Zusatz ist aber 



offenbar: — . Wenn man denselben beliebig oft, z. B. «Mal hinzufügt, so erhält man die 



Orte aller Schwingungsknoten : 



2 TT 



(157) — je, = — x, , — x» = — x t — —-..... 



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