Über die Schwingungen gespannter Saiten. 133 



geben. Erst wenn a so gross geworden ist, dass der grössere der beiden Bogen alil und 

 akX einen Quadranten überschreitet, bekommen diese beiden Glieder entgegengesetzte Zei- 

 chen und das gegenseitige Aufheben derselben wird möglich, kann aber wegen der voraus- 

 gesetzten Ungleichheit dieser beider Bogen erst dann stattfinden, wenn der grössere von 

 ihnen bereits einer halben Peripherie nahe gekommen ist, wo dann die Cotangente des klei- 

 neren sehr gross und positiv, die des grösseren hingegen ebenfalls sehr gross und negativ 

 ausfallt. Es vermag daher die erste der Wurzeln « , die auch hier mit a^ bezeichnet werden 

 soll, in einer der zwei folgenden Foi'men zu erscheinen : 



a, = — = oder a, 



1 7,7 7. J A 



hl kX ' TeX hl 



je nachdem entweder der Bogen hl, oder der andere kX der kleinere von beiden 

 ist. Hier bezeichnen <7j und r, sehr kleine und positive Bogen, deren Werthe erst zu ermitteln 

 sind. 



Bei der ferneren Zunahme von a wächst nun der grössere der zwei Bogen ahl und akX 

 über 7t hinaus, während der kleinere noch von Null wenig verschieden ist. Die Cotangenten 

 gewinnen daher wieder dieselben Zeichen, bis der grössere drei Quadranten überschritten 

 hat und vieren nahe kömmt. Wenn daher die Ungleichheit der^ beiden Producte hl und kX 

 sehr gross ist, so lässt sich die zweite Wurzel a 2 ebenfalls in einer der beiden folgenden Ge- 

 stalten wieder geben: 



o-o 2ff — r., , <To 2tt — r.> 



'U = — = — — oder a 2 = -f = — — — 



hl hX " *X hl 



und ganz allgemein unter Voraussetzung sehr ungleicher hl und kX erscheint die r u Wurzel «,. 

 in einer der beiden Formen: 



ö> TIC Tr 1 "> «t ~r 



a. = — = - oder a. = — = 



hl ' kX kX hl 



je nachdem hl oder kX das kleinere dieser beiden Producte ist. Führen wir nun diese Werthe 

 für a T in die transcendente Gleichung in a ein, so ergibt sich entweder: 



160 a — 1 h • • ■ °der 



[ ' k(i r x) ^ s»{i + X)* ~ 



[161) a = ^— + 



r Z rf (h- — Ifi ) X* 



h(i+x) ~ s/fi(i + xy 



Die erste Formel gilt, wenn das stärkere Stück der Saite das an Masse weit überwie- 

 gende ist, die zweite aber, wenn das schwächere Stück die bei weitem grössere Ausdehnung 

 hat. Da beide gleichmässig für gerade , wie auch für ungerade r gelten , so besteht hier der 

 Unterschied in der Reinheit der Töne nicht mehr, wie in dem anderen extremen Falle, wo 

 hl und kX einander nahezu gleich vorausgesetzt wurden. Die Octaven sind hier nicht mehr 

 vorzugsweise falsch, es sind es im gleichen Masse die Terzen, Quinten u. s. w. auch. Zu den 

 Schwingungsknoten gelangt man auch hier genau auf dieselbe Weise , indem mau nämlich 

 von dem schwächeren Ende angefangen, Stücke gleich — so oft aufträgt, als man kann, ohne 



Cur 'l 



den Anfangspunkt der Coordinaten zu überspannen ; imgleichen von dem stärkeren Ende der 



