134 



J. Petzval. 



Saite an, Stücke gleich — so oft absticht, als man kann, ohne den Anfangspunkt zu über- 

 schreiten. Der Unterschied ist hier nur der, dass die Anzahl der so erhaltenen Schwingungs- 

 knoten, die auf der positiven und negativen Seite vorhanden sind, und die in dem früheren 

 Falle beiderseits beinahe eine gleiche war, hier eine sehr ungleiche wird, so zwar, dass das 

 eine der beiden Fadenstücke sogar keinen Schwingungsknoten enthalten kann, während das 

 andere deren eine beträchliche Menge zählt. 



Wir sind bisher von der Voraussetzung incommensurabler hl und kX ausgegangen, unter 

 welcher die Auflösung der transcendenten Gleichung die meisten Schwierigkeiten bietet. 

 Würden sich hingegen die Bogen lila und kXa wie zwei ganze Zahlen p und q zu einander 

 verhalten, so dass man z. B. hätte lila = pu und kXa. = qu, so erleichtert dies die Auffin- 

 dung der Wurzeln «, die die Transcendente (121), welche jetzt in die folgende: 



(162) 



li cotang pu 4- k cotang qu = 



übergeht, sehr wesentlich. Es kann nämlich diese Transcendente jetzt dadurch, dass man 

 tang u = : als neue Unbekannte einführt, in eine algebraische verwandelt und dann als solche 

 weiter behandelt werden. In der That hat mau nach den bekannten Formeln für die trigo- 



nometrischen Functionen der vielfachen Bogen : 



cotang pu = 

 cotang qu = 



(*,)■■ 



D^ + il)* 5 



Zähler und Nenner dieser Werthe sind, vermöge der zu Grunde gelegten Voraus- 

 setzung, dass p und q ganze Zahlen seien, von selbst abbrechende Reihen; die vorliegende 

 transcendente Gleichung aber geht mit denselben nach gehöriger Wegschaffung der Brüche 

 über in : 



(163) 



— z (hq 4- kp) — t 3 [h («) + k (?) (?) -h Ä (f) (|) + Ä: (|)] + 



+ z*[h(i) + fc (£)(?) + h<ff® + & (!)(!) +*G)(Ö + &(*)] — 



- s 7 [>(?) + &(§)(?) + Ä(i) (!) 4- fe(j) (f) + Ä(0 (ö 4- fc(i)(?) i- ä (?)(?)-M (?)}- 



Eine Wurzel dieser Gleichung ist immer 



(164) 



z = tang u 



das ist aber gerade die bereits früher besprochene, die keine Schwingungen gibt des aus 

 heterogenen Theilen zusammengesetzten Systemes als solchen , sondern nur diejenigen 

 Schwingungen, die die einzelnen Theile je für sich und gleichzeitig mit einem Schwingungs- 

 knoten im Trennungspunkte anzunehmen vermögen. Man überzeugt sich hievon sehr leicht 

 durch den unmittelbaren Anblick der Formel (122) und (123) für r n die dann beide r t = 

 geben, wenn x = <> angenommen wird, indem in der ersten der Factor sin ahl = sin pu, in 

 der anderen aber der Factor ( — k-\-h) sin pu — (k-\-h) sinpu = — 2k sin pu erscheint, wenn 

 .r = gesetzt wird, ein Factor der für dieselben Werthe gleich Null wird, für welche auch 



