t'ber die Schwingungen gespannter Saiten. 135 



z = tangu verschwindet. Lassen wir nun diese eine Wurzel ausser Acht, so geht unsere letzt ge- 

 wonnene Gleichung in z, so lange p undg als massige Zahlen gedacht werden, über in beinahe 

 durchwegs sehr einfache Gestalten. So z. B. hat manj> = 1 , <?= 2: 



= 2Ä + &— z*k 



daher 



h 



Ebenso erhält man in dem Falle: p = 1 , y= 3 



= 3A-f k — .s' 2 [Ä+ 3&] 

 also: 



= ± V£ 



A + 3* 



fürp = 2, 5'= 3 ergäbe sich in derselben Weise: 



= 3 h 4 2/,' — .r' [4 A + 6 fc] +**Ä 

 dali er: 



±V- 



ti, ■:;/. i 



+ _1| '— A* + 10 A&+9 /r 



u. s. w. Der kleinste von allen so gewonnenen Werthen von z, der auch das kleinste « gibt, 

 ist hier immer der wichtigste von allen, weil ihm der tiefste oder Grundtori angehört. Auch 

 hat es keine Schwierigkeit von dem Falle commensurabler hl und JcX, die im Verhältnisse der 

 ganzen Zahlen/? und q zu einander stehen zu denjenigen incommensurabler hl und lcX den 

 Weg zu rinden, die nur nahezu dieses Verhältniss einhalten und diesem entsprechend die sehr 

 kleinen Correetionen. die zunächst zu z, dann aber auch zu a hinzugefügt werden müssen, 

 zu ermitteln. 



Wiewohl die Theorie gespannter Saiten die älteste derjenigen ist, die ihre Repräsentation 

 meiner partiellen Differentialgleichung finden, und in die Zeiten d'Alembert's und Euler's 

 zurückreicht, so ist dieselbe keineswegs als abgeschlossen anzusehen, wie unter anderen auch 

 die in dieser Abhandlung gewonnenen Ergebnisse beweisen dürften, und wenn auch die Ana- 

 lysis bei einem so allgemein bekannten und so vielfach im Leben geübten Gegenstande, wie 

 Schwingungen von Saiten, vermuthlich des Neuen nur sehr wenig bringen kann, oder viel- 

 leicht gar nichts, was nicht schon von den Musikern früher beobachtet worden wäre, so muss 

 es doch schon für verdienstlich gehalten werden, wenn bereits beobachtete Erscheinungen, 

 die aber in der gewöhnlichen Sprache der Kunst mit einem theils unrichtigen, theils nichts- 

 sagenden Ausdrucke bezeichnet werden , die passende mathematische Ausdrucksweise finden, 

 die ihr Wesen und ihren Ursprung charakterisirt. Es wäre daher vielleicht verdienstlich, wenn 

 man das nur in erster Annäherung und für einen hypothetischen, nirgends in der Natur 

 wahrnehmbaren Fall erledigte Schwingungsproblem gespannter Saiten mit den neuen Hilfs- 

 mitteln der Analysis wieder aufnähme, die Störungen in Rechnung ziehend, die von den 

 mannigfaltigsten Nebenumständen herrühren, welche nie fehlen und auch nach dem Zeugnisse 



