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lemoyen de decouvrir, paries transformees en (x — p) et en 

 (x — p — i ) , si l'equationa quelque racine egale a un nombre 

 entier p , ou comprise entre p et/^+i. La recherche des 

 dififerentes valeurs incommensurables dont x est susceptible, 

 se reduit done a celle des racines que liquation en x — p) 

 peut avoir entre ze>o et un. Cette premiere partie de la Methoda 

 sullit toute seule , en certains cas , pour faire decouvrir Ies 

 dilferenies valeurs reelles de l'inconnue, a moins d'une unite 

 pres : elle a recu, en i8o3, l'approbation de la premiere Classe 

 de l'lnstitut , qui a reconnu, dans ce nouveau procede , une 

 Methods generate , directe et sure , pour resoudre une equation, 

 lorsqu'on sait d'avance qne toutes ses racines sont reelles (i). 



Mais on obtient rarement cette condition, et souvent I'equa- 

 tion a resoudre a des racines imaginaires. Alors les transfor- 

 mees sucesshes sont insuftisantes , et M Budan y joint, dans 

 la seconde partie de sa Methode , des transformees collate- 

 rals ; e'est-a-dire , qua c6te d'une equation en (x — p) , il 



place une equation en f z — i\ 2 egalant ^— . II e^ablit cette 



regie remarquable , qu'il deduit de celle de Descartes : 

 une equation en (x — p) ne peut avoir plus de racines com- 

 prises entre zero et un , qu'il iiy a de variations de signe 



dans V equation en ( z — 1\ Ainsi I'absence de toute variation 



de signe , dans la seconde de ces equations , est un criterion* 

 ou indice assure qui caract^rise, dans la premiere, I'absence 

 de toute racine positive moindre que l'unite. M. Budan prouve 

 aussi que, r^ciproquenient , I'absence de toute racine entre 

 zero et un , dans l'equation (x — p) est constamment mani- 

 festee par I'absence des variations de signe dans liquation 



en (" — i \ sauf un seul cas qui peut faire exception. Ce cas est 



celui ou liquation en (#■ — p) a une couple, au moins, dc 

 racines imaginaires dont la partie reelle etant une fraction 

 proprement dite, la partie precedee du signe — sous le signe 

 radical, est plus petite que le produit de cette fraction par 

 son complement a l'unite, et par consequent moindre que i. 

 II est aise de voir que l'adjonction de ces transformees colla- 

 terales aux transformees successives, sera souvent sullisante pour 



(i) Dps circonstances pailiculieies ont empeche l'autcur de presenter 4 

 celle njeme Classe la suite de sou trayail. 



Tome LX1F. AYRIL an 1807. N n 



