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(I) Die Definition jeder Griindoperation muss die Coefficienten 

 ihres w-fach complexen Eesultates durchwegs als reelle 

 Zahlen bestimmen. 



(II) Sie muss fur w =: 1 die bekannten Eigenschafteu derselben 

 Grundoperation in ibrer Anwendungauf einfacb complexe 

 Zahlen liefern. 



(Ill) Die Summe uud das Product zweier beliebiger «-fach com- 

 plexerZahlen miissen commutativ bleiben — sich gewisser- 

 massen von selbst darbieten, wahrend die vierte Forderung 

 erst durch die nachstehenden einfachen Uberlegungen be- 

 griindet wird. 



Sind allgemein: 



Zj = a„ + a^i.^ + . . . -h a„ i„, Z^ == /y„ + h^ /^ + . . . +bnin 



die beideu Zahlen, welche durch irgendeiue der verallgemeiuerten 

 algebrnischen Grundoperationen verkuupft werdeu sollen, so 

 bleiben die Grossen: «„, b^, 



% />o + "i ''''i + • • • + (!■» f>n — ^n, Val + ((]+...-{- ul — i\ , 

 Vbl + b\-\-...+bl = r^ 



sammtlichen complexen Specialisirungen von Zj . Z^ zu- 

 geordnet, wahrend sich die Coefficienten: a^ b^ ; a^ . b^]. . .a,,, bn 

 speciell auf /j , respective i^,. . .in beziehen. In Hinblick hierauf 

 liegt also die Forderung nahe, die betreffende. Grundoperation 

 derart zu definiren, dass auch im Eesultate derselben die Grossen: 

 ftj , 6j lediglich in m, r^, r^ and dem Coefficienten von i^, ferner 

 (1^, b^ ausschliesslich in m, r, , i\ und dem Coefficienten von 

 i^,...a„, b„ nur in m, i\, r^ und dem Coefficienten von i„ 

 auftreten, wahrend «„, b^, w , i\, r, an kein einziges specielles 

 Unterscheidungszeichen gebunden sind, also moglicher Weise in 

 alien Coefficienten des Resultates vorkommen. Auf diese Art 

 besitzt das letztere, sobald die vierte Forderung befriedigt wird, 

 allgemein die Form: 



/oK.' ^p ''»' n? '■2) + /i'>o' "u ^^0' f'v ^^ ^V ''a)'*! + 

 -+AK' ''2: '''o? f'z^ ^h ^\, ^\)k+ ■ • • +A K? f^n, ^„ b,„ in, i\, r^i„, 



