Sviluppo di un determinante particolare ad n variàbili 



è noto che, se indichiamo con //„ la somma delle disposizioni con 

 ripetizione di classe m e di peso n di essi elementi , essa somma 

 è data dalla seguente formola ricorrente : 



1 i 



nu„ \ 



m- 



-\ — n «i.i'/„_i4- 2{ni-\-\)—n 



>hy„- 



-\ nini + l)—n U„//o^ 



{^) 



se è «u = 1 si ha : 

 1 < 



«/„ = — J m + l — n «,,Vn~i + r2(m4-l) — w M2,V»-..' 4- .... 4- 



n{m+ì)—n ?<„;/n 



e posto m = — 1 : 



!/n- 



— . «i2/„_i+H,..V«-2-h 



+u„ tj» ^ 



(7) 



(4') 



che coincide colla (4); quindi lo sviluppo del determinante propo- 

 sto si ottiene ponendo ni = — 1 nella formola (7), la quale dà la 

 somma dei gruppi di disposizioni con ripetizione di classe in e di 

 peso ti degli elementi indefiniti : 



Ih , «3 : 



ed in tale ipotesi, la formola (4) o (4'), che si deduce, non ha più 

 significato nel calcolo combinatorio, deve considerarsi come un'e- 

 spressione algebrica qualsiasi , analogamente al simbolo '^!) quan- 

 do ìli è negativo o frazionario. ^^^ 



3) Mi propongo di sviluppare sotto forma esplicita il determi- 

 nante proposto, dimostrando un' altra formola che dà la somma 

 i/„ fornita dalla (7) e quindi ponendo in essa in = — 1. 



(1) Noto (|ui incidentalmente che siccome la formola (4), dimostrata direttamente , coincide 

 con quella che si ottiene dalla (6) ponendo in essa m = — 1, ed inoltre, siccome la (6) dà il 

 coefficiente generale della latenza jh" di una serie assolutamente convergente essendo m intero 

 e positivo, risulta dimostrato che la (6) vale anche nel caso della potenza ad esponente — 1 

 delle serie assolutamente convergenti e perciò essa è anche vera per un esponente intero e ne- 

 gativo — m. 



