Sviluppo di un determinante particolare ad u variabili o 



È noto che ?/„, dato dalla (7), è il coefficiente di 2" nella po- 

 tenza ìli"' della serie assolutamente convergente : 



1 + Hi2 + UzZ'^ -I- tlìZ^ + 



cioè si ha : 



(l-f-»,2+ «22-+. . . . '. .)'"=//„ + //,2+//,S' + . . . .+ //„2"+ (8) 



Effettuando il prodotto di in serie, tutte uguali alla proposta, 

 cioè : 



(1 + U,Z+ HiZ' + ). \ 



(1 + «,2 + U,Z'+ ). 



\ 



(1 4- thz + itzz- -H ) 



per ottenere un termine di classe m e di peso n si osservi che 1' u- 

 nità, che è il primo termine della serie, può entrarvi 0, 1,2, 3,.., 

 m — 1 volte (gianmiai m volte altrimenti il termine corrispondente 

 sarebbe di peso zero), quindi //„, rispetto ai coefficienti u^, è una 

 somma di termini tutti di peso n e di grado \, -1. 'à, . . . ,111, cioè: 



indicando con .S\.„ la somma dei teiiniiii di i)eso n e di grado /• 

 rispetto alle w. Per avere .S\. „ , delle ni serie (9) da moltiplicarsi 

 prendiamone k, escludiamo il jirimo termine, che è 1' unità, moltipli- 

 chiamole fra loro ; 0, ciò che vale lo stesso, consideriamo la po- 

 tenza /i-"'" della serie : 



M,2 + «22- + «32" -+- (10) 



che si ottiene dalla data sopprimendo il 1° termine, ed indichiamo 

 con ,1,,.,, il coefficiente di z" in essa potenza; nelle rimanenti tu — A- 

 serie (0) prendiamo sempre il 1° termine 1, di guisa che tutti i 



