10 Sviluppo di un determinante particolare ad a variabili 



8) Come è stato detto, A^_,^ è il coefficiente di z" nella poten- 

 za A-""' della serie (10), dunque è una somma di termini di grado 



/i' e di peso n che possono foimarsi coi coefficienti u^ , u^ , u^ , ; 



cioè è una somma di termini della forma : 



u u u 



n Vi j> 



dove è : 



+ a^ = A- i 



. (22) 



ao\ + a-ir-z + ....+ a*)-ft = n ) 



osservando che alcuni degli esponenti «^ possono essere uguali a 

 zero, ma nessun indice Vp può essere uguale a zero. 



Il termine precedente avrà un coefficiente, dato evidentemente 

 dal numero delle permutazioni di k elementi di cui «i sono uguali 

 fra loro ed uguali ad ;/,•, , altri a„ sono uguali fra loro ed uguali 

 ad M,2 e così di seguito, quindi : 



Kn = y - 



A! 



■ a-K ! 



(23) 



Quindi, per ottenere .i,,,„, servendosi delle (22) e (23), biso- 

 gna fare le partizioni di A: in /.• parti, di cui alcune possono essere 

 uguali a zero, se a^, a,, . . . . , a^. è una partizione, si considerino i 

 numeri interi r^ , tutti diversi da zero , che soddisfano la seconda 

 delle equazioni (22), ciò si ripeta per tutte le partizioni di A- in A' 

 parti ed i sistemi di valori « ed r ottenuti , sostituiti nella (23) , 

 forniscono A^_„. 



9) È noto come si fanno le partizioni di un numero A- in k 

 parti : se «j, a.^, . . . , a,, è una qualunque di queste partizioni , si 

 proceda da destra verso sinistra finché si trovi una parte p che 

 differisca almeno di due unità dall' ultima , si lascino intatte tutte 

 le altre parti che rimangono a sinistra di p , e si faccia questa 

 parte e tutte quelle che la seguono sino alla penultima , tutte u- 



