Il secondo teoremo delia medhi iier (jV intef/rali multipli 3 



steiiiii (li varietà l ad ii — 2 dimensioni e connesse , in ciascnna 

 delle (]nali la funzione cp(//i ..., .//„) lia un valore eostante, e tali, 

 inoltre, clie considerando i ]»unti Jf ed X citnie varietà % (intì- 

 nitaniente j)iceole), la ?(.'/i ,.., .'/„) si:i seini)re crescente da Jf ad 

 JV qnalora si consideri come tunzi<nie di (incile varietà. (*) 



Cominciamo ad osservare die in un ]»unto qualuinjue /' di 

 a, la 'f (//i v- //h) i"»!' P"** avere un massimo, ne un minimo, e 

 clic (|uindi, in particolare, esistono i soli punti Jf ed .V in cui 

 la funzione ]n*ende rispettivamente il minimo ed il massimo dei 

 suoi valori. 



(1. — Stante r ipolesi di sopra, // Iiuk/o dei /nnifi mi t/iinJi 

 C'f(//i,.., i/,,)^c (tf ' < e < (p") , e Xìin ijxr.siiftcrficìc coiitiiiiin, roii- 

 ne,s.s(i e dccreficcnfi', tale cioè clic all'annunitare di una delle coor- 

 dinate, una almeno delle rimanenti diminuisce. 



In ett'etti sia Q un punto (|nahin<|ue del campo 1', in cui 

 (. «p = r. Preso un intorno coinniuiue [)iccolo di Q, facente parte 

 di S, si possono sempre sccfiliere due punti tali che in essi la 

 funzione -y (//i ,.., //„) prenda valori uno nuii;siiore e l'altro mi- 

 iu)re di e. 



Unendo (piesli due punti con una linea continua, tutta cou- 

 tennta nell'intorno ])rcso a ((uisiderare di (,>. e clic non passi 

 per Q, in essa vi sarà certamente almeno un jinuto in cui è 

 ^ = e. Ke concludiamo senz'altro die ripersni»erficie (n. 4) luoiio 

 dei punti nei (piali si ha cp =: e è c(mtìnua. 



Osserviamo ora che V ii)ersu]>erticie in esame, ha il sin> con- 

 torno posto i)er intero in 3. i>iacchè se ciò non fosse, si potrel)- 

 bero sempre trovare due punti, nei (piali la funzione «p (//i ,.., //„) 

 prende valori uno nia.ugiore e V altro minore di e. tali che si 



(*) OssovviaiiKi (!lui l'ii)i)t('si falla si vcrilica «e 2 è un i>ai-aU<'lci)ii)c(lii con le tacce iiaial- 

 lele aj^ripeiiiiaui ciioiiliiiiiti. Infatti in (|iu'st(> caso i punti .)/ ed .V sono due vei'tici i)i)posti, 

 e su i|ualuu(iur linra piana n\eiit<> in essi f;li l'stnMui e •;iaceule su 3. la funzione -i (;/[,.. .(/,i) 

 ^ sempre crescente da M ad .V. 



Considerando duncpie gli x ""'- piani uscenti dalla retta MS, i' (diiaro che T ipersuper- 

 tieie contorni) 3, è ricoperta ila un sistema di varietà ^ ail « — 2 dimensioni, come i|ueUe di 

 cui si parla nell' ijiotesi fatta. 



