Il secondo teorema della media per yl' integrali multipli 7 



tanto vicino ad .1 clif in esso la fC.'/i,.., .'/„) al)l)ia un valore 

 f' compreso tra (incili che prende in A e in B. Siccome poi a' 

 è un' iperHn]>erticie limite, eniste nna >., che non ha alcun punto 

 in oouinne con //, in cui e {•(.'/i,-., //„) = '■. •' <li<' passa per A'. 

 Tracciando ora sn 'k' una linea (|nalun»|ue che unisca i punti 

 A e 7), in «[uesta dovrehl)c esistere un punto in cui è cp(//,,.., i/„)=c, 

 e ciò è assurdo iiiac<'Iiè 'k, (^ >' non hanno alcun ]>unto comune, 

 ^e segue ch(^ in due punti ad arhitrio «li >/ la ^(//i,.., .'/„) deve 

 prendere lo stesso vah)re, cioè, in altri termini, V ipersuperficie, 

 'k' a])partieiu' a (k). 



10. — Fin ora al)hiamo supposto che 1' ipeisuperticie a con- 

 torno delio spazio S, sia tale da essere iucoutiata in soli due 

 ]uinti dalla parallela ('ondotta ad uno (|ualuii«|Uf dei>li assi coor- 

 dinati da un punti> ai1)itrario di i] — 0. 



iVinniettiaino ora che nella i|»ersuperlicie :; vi possano es- 

 sere (Um tratti (anche in numero in(inito) ]taralleli ad uno degli 

 assi, stando sempn^ V ip<»t(;si che o venga incontrata in soli lìiic 

 (o infiniti) i>unti dalla parallela ad uno degli assi uscente da 

 un punto ai'hitrario di S — 0. 



11. — Le proprietà della fniizioiu> -^(//i,.., //„) studiate nei 

 numeri jjrecedenti, reggono anche nella huonm ipotesi. 



12. — Se inline il campo ad ii dinuMisioni - è conn^^sso in 

 generale, si juiò mercè un nunuTo fiiiifo di convenienti porzioni 

 d' i])erpiano parallele ad uno degli i]>erpiani coordinati, dividerlo 

 in diversi campi analoghi a ijucllo considerato nel n. 10. 



Le itroprietà studiati' della fnnzione cp(//i,.., //„) sussiste- 

 ranno ancora in ciascuna parte del campo, i^ «|uindi, con /<</(/iere 

 lìKKÌificJic, in tutto il campo ^. Per esempio, possono non essere 

 ccninesse le ipersu])ertìcie k in cias<una delle (|uali la l'unzione 

 ?(.'/] V .'/„) '"' "i" valore costante, se si ammette che le varietà 

 S delle (juali si ])arla nel u. .">, non siano connesse. 



1.3. — Se la funzione ft'/i,.., .'/„) è sempre decrescente ser 

 coiaio il senso i)ositivo degli assi coordinati, si può fare uno 

 studii» analogo a (|uell«» che sin ora si è fatto. 



