M. Pieri [Memoria XI. 



Si può tosto rappresentare biunivocamente la nostra varietà 

 Iij-^ sulla traccia dell' iperpiano 'S\ in Ql — o sopra qualunque 

 altra sezione iperplanare di questa torma — osservando che per 

 ciascun punto E di ^ ])assa una retta incidente i due piani k 

 e ]j. (dunque giacente in Ql) la quale, con la sua traccia E' in 

 iS''. farà immagine al punto E. Se non che a codesta rappresen- 

 tazione—del dato complesso (2) sopra un complesso lineare — 

 è forse da preferir la seguente, che riferisce punto per punto la 

 varietà S|^ ad uno spazio or 'lina rio ITg genericamente asse- 

 gnato nell' iperpiano ò'V La varietà S|^ si trasformi primiera- 

 mente in ^'l per pi'ojezioue da un suo punto doppio (come 

 fàceaimo or oi-aj : quindi, a ciascun punto generico E' di j' si 

 coordini la traccia E" in IT" dell'unica retta che passa per quello, 

 incontrando simultaneamente la retta doppia l' e il piano sem- 

 plice \>.'. È chiaro che, viceversa, ciascun punto dello spazio rap- 

 presentativo II" sarà generalmente immagine di un sol punto 

 di ^'■, stante che le x^ rette incidenti /' e ;jl' compongono, den- 

 tro iV'i, un certo sistema r' del prim' ordine: onde sussiste ef- 

 fettivamente corrispondenza univoca tra le co ^ rette (e) di C^) 

 e i punti E" dello spazio ordinario H". È dunque razionale ogni 

 complesso cubico (2) di raggi, il quale contenga una stella di 

 rette e un piano rigato senza elementi comuni. (1) 



(1 ) Una touilotta analoga si presterebbe allo studio di parecchie altre specie di complessi 

 cubici razionali di rette. Citeremo ad es. il complesso cubico che ammette una, stella— ov- 

 vero UH piano Hiiato — ed nna congruenza lineare aventi a comune un sol raggio: e il com- 

 plesso di terso grado con due congruenze lineari aventi a comune un fascio ài raggi : complessi, 

 di Olii si può dimostrar l'esistenza a priori (confermando, cioè, l'esistenza di qualche forma 

 iP^ passante per certi piani, o quadriche, di Q^i); ma questa si prova eziandio a posteriori, 

 sul fondamento della riippresentazione univoca in II", argomentando per es. in conformità 

 liei «6 8 e 9 della presente Nota. Osservate qualmente le razionalità di questi complessi 

 cubici è da ascrivere alla presenza in Q-^ di certi sistemi di rette triplamente iutìuiti e del 

 prinr' ordine: sistemi che dalla projezioue stereogratìea di (J'j sou riprodotti in qualità di 

 complessi del prim' ordine appartenenti allo spazio S\ e dotati di una quadri- 

 (■« focale oi'. — Fra tutti i complessi di rette, che occupano semplicemente uuo spazio 

 da (|uattro dimensioni, si segnalano quelli dalla cui superficie focale si stacca una quadrica; 

 a motivo della elegante interpretazione di cui sou capaci noli' ordin.aria geometria delle rette. 

 Invero, trasportati alla forma Q'-^ mediante una proiezione stereografica inversa, ci forniscono 

 tutti i sistemi triplamente infiniti di fasci di raggi, per ognuno dei quali succede, che 

 una retta data a piacere stia in un sol fascio del sistema. 



