Prof. Guido Fubini [Memoria IV.] 



corrispondere dei gruppi di trasformazioni conformi, anzi di puri 

 movimenti per apazii, che però non sono più, come 1' euclideo, 

 a curvatura costante. 



L' introduzione di queste nuove metricìie è tutt' altro clie 

 una cosa semplicemente formale : essa permette di ricorrere al- 

 l' intuizione ed ai procedimenti della geometria per risolvere una 

 questione algebrica. ]n un' ixltima parte del presente lavoro fac- 

 cio sommariamente lo studio delle forme Hermitiane e delle pro- 

 prietà fondamentali delle metriche e dei gruppi corrispondenti , 

 di cui qualche caso particolare soltanto fu finora studiato. La 

 teoria dei gruppi discontinui viene così estesa in nuovi e gene- 

 ralissimi campi. 



§ 1. — Consideriamo in uno spazio ad un numero qualuncpie 

 m di dimensioni un gruppo di trasformazioni conformi, di cui 

 nessuna infinitesima ; come sappiamo jìcr un noto teorema di 

 Liouville tali trasformazioni per m > 2 non sono che prodotti 

 di movimenti e di inversioni per raggi vettori reciproci; se >h^2 

 noi ci restringeremo alla considerazione delle trasformazioni con- 

 formi di questa natura. Come è ben noto dal caso di ;h = 2, 

 può darsi che un tal gruppo sia impropriamente discontinuo ossia 

 che nel!' intorno di ogni j^unto esistano coppie equivalenti di 

 punti; è però chiai'o che se noi immaginiamo il gruppo operante 

 non sui punti dello spazio ma su altre varietà convenientemente 

 scelte come elementi generatori dello spazio, allora il gruppo 

 diventerà propriamente discontinuo, ossia trasformerà una ge- 

 nerica di queste varietà in un'altra varietà a distanza finita da 

 quella. Così p. es., come noi dimostreremo in generale, ogni grup- 

 po di trasfornuizioni conformi, di cui nessuna sia infinitesima 

 opera in modo iniproi)riamente discontinuo nello si)azio, quando 

 per esempio si prendano come elementi generatori di questo an- 

 ziché i punti di esso, le sue sfere oppure le coppie de' suoi 

 punti. 



Possiamo anche generalizzando un noto artificio di Poincaré, 



