Prof. Guido Fuhini [Memoria IV.J 



strato che il nostro "ruppo (che per ipotesi non ha trasforma- 

 zioni infinitesime) è propriamente discontinuo, quando lo si con- 

 sideri opcu'ante sul scmispa/io iS,„_f.i ; di più, poiché ad una geo- 

 detica od a un iperpiano di R corrispondono rispettivamente 

 nel nostro seniispazio un cerchio od una ipersfera che tagliano 

 ortoganahnente 8^ in una coppia di punti o in una ipersfera e 

 viceversa, ne verrà pure dimostrato che il nostro gruppo opera 

 in modo propriamente discontinuo anche in 8m , purché si pensi 

 iS„ come luogo delle sue sfere oppure come luogo delle coppie 

 de' suoi ])unti. Se anzi noi pensiamo lo spazio R generato dai 

 sxioi piani anziché dai suoi punti, possiamo dire che in sostanza 

 r artifìcio di Poincaré si riduce a considerare 8^ come luogo 

 di sfere; osservazione questa, che mette il suddetto artifizio 

 sotto una nuova luce e ne fa vedere meglio 1' intima essenza. 



Viceversa a ogni gruppo discontinuo di movimenti di uno 

 spazio a curvatura costante si può nel modo succitato far cor- 

 rispondere un gruppo di trasformazioni conformi per uno spazio 

 euclideo ; nei primi paragrafi seguenti ci volgeremo allo studio 

 di tali gruppi di movimenti, dedicandoci anzitutto allo studio dei 

 singoli movimenti, o in altre parole allo studio delle proiettività 

 che lasciano fìssa una quadrica. 



§ 2. — kSia z'i = ^ bii, ;r^. (/, k = 1, 2,... n) una proiettività P 

 che lasci fissa una forma (juadrica Q non degenere a n variabili 

 e sia + 1 il suo determinante | />* |. Come é ben noto 



I 1^,. - ^,* p i = 



dove £,,. é uguale a uno oppure nullo, secondo che i, h sono 

 uguali o no tra di loro , é la cosidetta equazione caratteristica 

 della proiettività stessa. A ogni radice pj di questa equazione 

 corrisponde uno spazio lineare di punti che la proiettività lascia 

 fìssi, S])azio definito dalle equazioni 



Pi 2, = S b,, z„ (V, A- = 1, 2, ... . n). 



K 



